Aufgabe: Äquivalenzrelation und Restklassen
(a)
Zeigen Sie, dass die folgenden eine Äquivalenzrelation auf Z ist:
a ∼ b ⇐⇒ 7|(a − b),
d.h. zwei ganze Zahlen a und b stehen genau dann in Relation, wenn ihre Differenz
a − b durch 7 teilbar ist.
(b)
Sei Z7 = {[0], [1], [2], . . . , [6]} die Menge der Äquivalenzklassen (Restklassen), wobei
[a] = {y ∈ Z : y − a = 7x, x ∈ Z} die Äquivalenzklassen von a für 0 ≤ a ≤ 6 sind.
Zeigen Sie: Durch [a] + [b] = [a + b] ist eine wohldefinierte (repräsentantenunabhängige) Abbildung Z7 × Z7 → Z7 gegeben, d.h., das Element [a + b] ändert sich nicht wenn a und b durch einen anderen Vertreter der Äquivalenzklassen von a und b
ersetzt werden.
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?
