Aufgabe:
Sei Z7 = {[0], [1], [2], . . . , [6]} die Menge der Äquivalenzklassen (Restklassen), wobei
[a] = {y ∈ Z : y − a = 7x, x ∈ Z} die Äquivalenzklassen von a für 0 ≤ a ≤ 6 sind.
Zeigen Sie: Durch [a] + [b] = [a + b] ist eine wohldefinierte (repräsentantenunabhängige) Abbildung Z7 × Z7 → Z7 gegeben, d.h., das Element [a + b] ändert sich nicht
wenn a und b durch einen anderen Vertreter der Äquivalenzklassen von a und b
ersetzt werden.
Lösung:
Seien a1, a2 ∈ [a] und b1, b2 ∈ [b]. Wir müssen zeigen, dass
[a1] + [b1] := [a1 + b1] = [a2 + b2] =: [a2] + [b2]
Da a1, a2 ∈ [a], ist 7|a1 − a2, d.h., a1 − a2 = 7x, x ∈ Z. Analog b1 − b2 = 7y, y ∈ Z. Dann
(a1+b1)−(a2+b2) = (a1−a2)+(b1−b2) = 7x+7y = 7(x+y). Folglich 7|(a1+b1)−(a2+b2)
und a1 + b1 und a2 + b2 in derselber Äquivalenzklasse: [a1 + b1] = [a2 + b2].
Problem/Ansatz:
Ich weiß nicht wo ich anfangen soll. Ich habe bereits die Lösung (siehe oben), aber verstehe keinen einzigen Schritt. Was ich soweit etwas sehen kann ist, dass man die Abgeschlossenheit zeigen sollte, aber die einzelnen Rechenwege. Es fällt mir generell schwer mit den Restklassen zu arbeiten. Über eine genaue Erklärung wäre ich sehr dankbar.
