Aufgabe:
Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum. Gegeben seien die folgenden zwei Bedingungen:
(1): \( \forall v \in V: \exists w \in V: v+w=0 \)
(2): \( \forall v \in V: 0 \cdot v=\overrightarrow{0} \)
Zur Definition von Vektorräumen wurde in \( 1.26 \) nur Bedingung (1) herangezogen ( \( \overrightarrow{0} \) sei hier der Nullvektor). Zeigen Sie, dass man stattdessen auch Bedingung (2) hätte verwenden können, dass sie also äquivalent sind (im Kontext der anderen Eigenschaften).
Ansatz:
Definition \( 1.26 \)
Einem Menge \( V \) heißt Vektorraum über einem Körper \( \mathbb{F} \), wenn Addition und skalare Multiplikation definiert sind und folgende Eigenschaften gelten:
- Kommutativität. \( u+v=v+u \) für alle \( u, v \in V \);
Assoziativität. \( (u+v)+w=u+(v+w) \) und \( (a b) v=a(b v) \) für alle \( u, v, w \in V \) und \( a, b \in \mathbb{F} \);
- Additive Identität. Es gibt \( 0 \in V \) mit \( v+0=v \) für alle \( v \in V \);
- Additive Inverse. Für jedes \( v \in V \) gibt es \( w \in V \) mit \( v+w=0 \);
- Multiplikative Identität. \( 1 v=v \) für alle \( v \in V \);
- Distributiveigenschaften. \( a(u+v)=a u+a v \) und \( (a+b) v=a v+b v \) für alle \( a, b \in \mathbb{F} \) und alle \( u, v \in V \).
Elemente eines Vektorraumes heißen Vektoren oder Punkte.
Beachte: Die Menge \( \mathbb{F}^{n} \) ist ein Vektorraum.
