Aloha :)
Damit eine Funktion \(f(x)\) an einer Stelle \(x_0\) stetig ist, müssen 3 Dinge erfüllt sein.
(1) Die Funktion muss an der Stelle \(x_0\) definiert sein.
(2) Der rechtsseitige Grenzwert \(\lim\limits_{x\searrow x_0}f(x)\) muss gleich dem Funktionswert \(f(x_0)\) sein.
(3) Der linksseitige Grenzwert \(\lim\limits_{x\nearrow x_0}f(x)\) muss gleich dem Funktionswert \(f(x_0)\) sein.
Bei deinem Patienten$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}-a\cos(x-1)-1 &\text{für }x<1\\a-4x^2 &\text{für }x\ge1\end{array}\right.$$ist die kritische Stelle \(x_0=1\). Wir gehen die Forderungen an Stetigkeit durch:
(1) Für \(x_0=1\) ist \(f(x)\) definiert, und es ist \(f(1)=a-4\quad\checkmark\)
(2) Wenn wir uns von rechts dem Punkt \(x_0=1\) nähern, ist \(x>1\), sodass der untere Fall der Funktionsgleichung relevant ist:$$\lim\limits_{x\searrow1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow1}(a-4x^2)=a-4=f(1)\quad\checkmark$$
(3) Wenn wir uns von links dem Punkt \(x_0=1\) nähern, ist \(x<1\), sodass der obere Fall der Funktionsgleichung relevant ist:$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}\left(-a\cos(x-1)-1\right)=-a-1\stackrel!=f(1)$$Oha, der linksseitige Grenzwert \((-a-1)\) ist im Allgemeinen nicht gleich \(f(1)=a-4\). Wir müssen daher \(a\) so bestimmen, dass dies der Fall ist:$$a-4\stackrel!=-a-1\quad\big|+a+4$$$$2a=3\quad\big|\div2$$$$a=\frac32$$
Nur für den Fall \(a=\frac32\) ist Bedingung (3) für den linksseitigen Grenzwert erfüllt.
Daher ist \(f(x)\) nur für \(a=\frac32\) stetig.
