Konvergenzradius | Summenzeichen k = 1

Question

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

\( \text { (i) } \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{4^{k}} x^{2 k} ; \quad \text { (ii) } \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k \cdot 3^{k}}(x-2)^{k} \text {. } \)

für i) habe ich 4 raus aber was mache ich bei der ii genau, da da k = 1 ist in der summe?

Für die Potenzreihe in ii soll ich außerdem, das konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervalls untersuchen. Wie klappt sowas?

Comments

für i) habe ich 4 raus

ich denke, dass ist eher \(r=2\). Ich vermute wegen \(x^{{\color{red}2}k}\) muss man noch die Wurzel aus der 4 ziehen.

Answer 1

Aloha :)

Die Konvergenzradien sind:$$r_1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^n}{4^n}\right|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\frac14}=4$$$$r_2=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^n}{n3^n}}{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)3^{n+1}}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)3^{n+1}}{n3^n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1n\right)\cdot3\right)=3$$

Zur Bestimmung der Konvergenzbereiche musst du die die Potenzen von \(x\) genau anshen.

(i) Hier tritt \(x^{2k}=(x^2)^k\) auf. Der Kovergenzbereich ist daher:$$|x^2|<r_1=4\implies |x|<2\implies\pink{-2<x<2}$$

(ii) Hier tritt \((x-2)^k\) auf. Der Kovergenzbereich ist daher:$$|x-2|<r_2=3\implies-3<x-2<3\implies\pink{-1<x<5}$$

Nun sollst du noch die Konvergenz an den Randpunkten der Intervalle untersuchen.

Dazu musst du bei (i) die Konvergenz für Werte \(x=-2\) und \(x=2\) untersuchen.

Bei (ii) sind die zu untersuchenden Werte \(x=-1\) und \(x=5\).

Die Freude daran möchte ich dir nicht nehmen... ;)

Comments

Wie genau kommen sie bei der (ii) auf 3? Ich verstehe nicht wie die umformung zustande kommt. Also der schritt nach | a_k / a_k+1 |

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Wie kann denn der Konvergenzradius r₁ = 4 und der Konvergenzbereich aber nur -2 < x < 2 sein?

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weil 4 kein wert für x ist

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@Mathieu:

$$\frac{(n+1)3^{n+1}}{n3^n}=\frac{(n+1)\cdot\cancel{3^n}\cdot3}{n\cdot\cancel{3^n}}=\frac{(n+1)}{n}\cdot3=\left(\frac nn+\frac 1n\right)\cdot3=\left(1+\frac1n\right)\cdot3$$

@Arsinoe4:

Der Konvergenzradius \(r=4\) gilt für \(x^2\).

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ich hab gerade gemerkt dass, für die (ii) -3 für r raus kommt wenn sie -1^k mit -1^k+1 kürzen bleibt ja -1 übrig sie haben das minus vergessen, wie ändert sich jetzt die Konvergenz in den randpunkten?

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Es kommt nicht \((-3)\) raus, weil der Konvergenzratius positiv definiert ist, daher auch die Betragszeichen.

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Achso okay, danke hatte ich ganz vergessen tut mir leid.

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Wie genau untersucht man das dann?

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Bei der ersten Aufgabe garantiert das Konvergenzintervall \(\pink{-2<x<2}\) die Kovergenz der Reihe für die angegeben \(x\). An den Rändern \(x=-2\) und \(x=2\) kann Konvergenz vorliegen, muss aber nicht. Daher sollst du die Ränder noch explizit abprüfen.

Für \(x=\pm2\) erhalten wir:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{4^k}x^{2k}\bigg|_{x=\pm2}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{4^k}(\pm2)^{2k}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{4^k}\,4^k=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k$$Die Reihe konvergiert nicht, sie springt ewig zwischen den Werten \(0\) und \(1\) hin und her.

Ein ähnliche Untersuchung musst du nun noch mit der zweiten Folge und ihren Randpunkte \(x=-1\) und \(x=5\) durchführen.