Bestimmen Sie die Anzahl der Matrizen in F2 n x m

Question

Aufgabe:

Seien \( n \leq m \in \mathbb{N} \) zwei natürliche Zahlen.

(a) Sei \( V \) ein \( n \)-dimensionaler \( \mathbb{F}_{2} \)-Vektorraum. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von \( V \).

(b) Bestimmen Sie die Anzahl der Matrizen in \( \mathbb{F}_{2}^{n \times m} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe Aufgabenteil a) schon damit begründet, dass V unendliche viele Elemente besitzt oder halt je nachdem wie groß n ist. Also v1, v2, ..., vn.

Nun wäre meine Frage besitzt der Aufgabenteil b) auch endlich viele Matrizen?

Answer 1

Sei \( V \) ein \( n \)-dimensionaler \( \mathbb{F}_{2} \)-Vektorraum.

==>   Jedes Element lässt sich durch ein n-Tupel von

Elementen aus \( \mathbb{F}_{2} \) identifizieren.  \( \mathbb{F}_{2} \) hat

aber nur 2 Elemente, also ist das Ergebnis 2^n.

\( \mathbb{F}_{2}^{n \times m} \) ist ein m*n-dimensionaler \( \mathbb{F}_{2} \) VR,

also 2^(m*n) Elemente .

Answer 2

Ein n-dimensionaler Vektorraum über \(\mathbb{F}_2\) hat genau so viele

Elemente wie \(\mathbb{F}_2^n\), also \(2^n\) Elemente.

Die Anzahl der Matrizen in \(\mathbb{F}_2^{m\times n}\) ist daher

\(2^{m\times n}=2^{mn}\); denn der angegebene Matrizenraum

hat die Vektorraum-Dimension \(mn\).