Bestimmen Sie die Anzahl der Matrizen in F2 n x m

Question

Aufgabe:

Seien $n \leq m \in \mathbb{N}$ zwei natürliche Zahlen.

(a) Sei $V$ ein $n$-dimensionaler $\mathbb{F}_{2}$-Vektorraum. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von $V$.

(b) Bestimmen Sie die Anzahl der Matrizen in $\mathbb{F}_{2}^{n \times m}$.

Problem/Ansatz:

Ich habe Aufgabenteil a) schon damit begründet, dass V unendliche viele Elemente besitzt oder halt je nachdem wie groß n ist. Also v1, v2, ..., vn.

Nun wäre meine Frage besitzt der Aufgabenteil b) auch endlich viele Matrizen?

Answer 1

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler $\mathbb{F}_{2}$-Vektorraum.

==>   Jedes Element lässt sich durch ein n-Tupel von

Elementen aus $\mathbb{F}_{2}$ identifizieren.  $\mathbb{F}_{2}$ hat

aber nur 2 Elemente, also ist das Ergebnis 2ⁿ.

$\mathbb{F}_{2}^{n \times m}$ ist ein m*n-dimensionaler $\mathbb{F}_{2}$ VR,

also 2^(m*n) Elemente .

Answer 2

Ein n-dimensionaler Vektorraum über $\mathbb{F}_2$ hat genau so viele

Elemente wie $\mathbb{F}_2^n$, also $2^n$ Elemente.

Die Anzahl der Matrizen in $\mathbb{F}_2^{m\times n}$ ist daher

$2^{m\times n}=2^{mn}$; denn der angegebene Matrizenraum

hat die Vektorraum-Dimension $mn$.