Welche der nachstehenden Folgen konvergiert, welche divergiert?

Question

Hey

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Welche der nachstehenden Folgen konvergiert, welche divergiert? Beweisen Sie Ihre Antwort und geben Sie insbesondere den Grenzwert im konvergenten Fall an.
\( a_{n}=\frac{50^{n}}{n !}, a_{n}=\frac{n^{n}}{n !} \)

Kann mir wer bitte zeigen, wie ich an die Aufgabe herangehe. Danke

Answer 1

Hallo :-)

Nutze die notwendige Bedingung zur Konvergenz aus: ,, \(a_n\) konvergent \(\Rightarrow\) \(a_n\) beschränkt".

Wenn also eine Folge \(a_n\) nicht beschränkt ist, dann impliziert das auch, dass \(a_n\) nicht konvergent ist.

Comments

Könntest du mir ein Rechen Beispiel zeigen.Lg

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Die Folge \((a_n)_{n\in \N_{\geq 1}}\) mit \(a_n=\frac{1}{n}\) konvergiert gegen \(0\). Nach dem notwendigen Kriterium ist \((a_n)_{n\in \N_{\geq 1}}\) beschränkt.

Betrachte die Folge \((b_n)_{n\in \N}\) mit \(b_n=n\). Diese ist nicht beschränkt, also nicht konvergent.

Bei deiner Aufgabe reicht es sogar, zu zeigen, dass eine von beiden Folgen eine Nullfolge ist, denn der Kehrwert daraus divergiert. Es gilt sogar Äquivalenz: $$ \lim a_n=\infty\Longleftrightarrow \lim \frac{1}{a_n}=0 $$ mit \(a_n\neq 0\) für alle \(n\in \N\).