Eine Aufgabe zu Untervektorräumen

Question

Aufgabe:

Sei U := {v=\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\...\\xn \end{pmatrix} \)| x1 + · · · + xn = 0} ⊂ K_n der Unterraum der Vektoren mit Koordinatensumme 0

und e₁, . . . ,e_n die Standardbasis von K_n.

1. Zeigen Sie, dass sowohl die Vektoren v_i:= e_i − e_n für i = 1,.., n−1 als auch die Vektoren w_i:= e_i − e_i+1 für i = 1,.., n−1 jeweils eine Basis von U sind.

2. Seien 1 ≤ k < l ≤ n beliebig und v := e_k − e_l ∈ U. Für welche Indices i lässt sich in der Basis v₁, . . . , v_n-1 von U der Vektor v_i gegen den Vektor v austauschen?

3. Für welche Indices i lässt sich in der Basis w₁, . . . , w_n-1 von U der Vektor w_i gegen den Vektor v = e_k − e_l austauschen.

Begründen Sie Ihre Antworten.

Problem/Ansatz:

Guten Abend, leider bin ich total überfordert mit diesen Aufgaben. Ich habe die Nummer eins meiner Meinung nach lösen können nur verstehe ich manchmal nicht warum in manchen Angaben n-1 steht anstatt n. Hat das einen Grund. Falls wer weiß warum bitte melden.

Nun meine eigentliche Frage zu 2 & 3:

Zu 2: Mein einziger Ansatz für diese Aufgabe wäre das wenn man v_i gegen v tauschen wollen würde v_i = v = e_k − e_l seinen müsste, da v ja (glaub ich) auch zur Basis gehört und somit essenziell für die Basis wäre.

Zu 3: Daher das ich 2, naja nicht richtig verstehe. Verstehe ich die 3 leider auch nicht..

Wär einer so nett und würde mir helfen ?

Answer 1

Hallo

der UVR hat ja mit der Bedingung die Dimension n-1 also nur n-1 Basisvektoren. der letze Vektor wäre doch wenn da nicht n-1 stünde e_n-e_n

2. a) l=n dann vk  b) l≠n  sonst entweder vk oder vl

v gehörte nicht zur Basis der vi,  nur für l=n  die vi haben alle die letzte Komponente -1

3) die wi haben immer ein Paar 1, -1 an aufeinaderfolgenden  Stellen

Gruß lul

Comments

Danke dir für Antwort aber ich hätte da noch eine Frage :?

Wäre die Lösung bei 2 nicht eher:

Im Fall l=n der v_k+1 da dieser nicht mehr zur Basis gehört und somit Linear Abhängig wäre und ich diesen durch jemand anderen ersetzten könnt?

Denn bei deiner Lösung wäre v_k ja der Letzte Vektor der Basis v₁, . . . , v_k und ich darf ja nicht Basis Vektor durch Basis Vektor ersetzten oder... ?

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Vergessen wir die Frage davor, war eine blöde Frage. Habe es jetzt etwas besser verstanden. Jetzt frag ich mich aber warum ich v (im Falle b) nur durch vk und vl tauschen dürfte. Kann ich v nicht durch jeden Vektor dann tauschen, da er kein Element der Basis wäre. @lul

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Ganz hab ich deine Frage nicht verstanden, aber in jeder Basis kann man vi, vk Erstzen durch vi, vi+r*vk

lul