Aufgabe:
a) Es seien \( \left(z_{n}\right) \) und \( \left(w_{n}\right) \) Nullfolgen. Beweisen Sie, dass dann auch \( \left(z_{n}+w_{n}\right) \) eine Nullfolge ist. Benutzen Sie dabei NICHT den Satz - Rechenregeln für konvergente Folgen.
b) Es sei \( \left(z_{n}\right) \) eine Nullfolge und \( \left(w_{n}\right) \) eine in \( \mathbb{Q} \) konvergente Folge. Beweisen Sie, dass dann auch \( \left(z_{n} \cdot w_{n}\right) \) eine Nullfolge ist. Benutzen Sie dabei NICHT den Satz - Rechenregeln für konvergente Folgen.
c) Zeigen Sie, dass in b) die Folge \( \left(w_{n}\right) \) keine beliebige Folge sein darf. Finden Sie aber eine schwächere Bedingung an \( \left(w_{n}\right) \), so dass der Satz noch immer gilt. Diese müssen Sie nicht beweisen - aber markieren Sie in Ihrem Beweis in b), wo diese Eigenschaft genutzt wird.
d) (Nutzen Sie für diese Aufgabe 4.2c.) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(b^{n}\right) \) für \( 0<b<1 \) eine streng monoton fallende Nullfolge ist.
Problem/Ansatz:
Hallo alle zusammen! ich bräuchte Hilfe bei den folgenden Aufgaben b-d. Die Aufgabe a) habe ich mithilfe der Definition für Nullstellen gemacht. Leider komme ich bei b), c) und d) nicht weiter. Bei Aufgabe d) braucht man die 4.2 c). Dort habe ich bewiesen dass (a^n) für a>1 eine streng monoton wachsende Folge ist, die nicht beschränkt ist. Dazu habe ich die Def. angewendet an+1-an >0 und kam am Ende auf das Ergebnis a>1.
