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Aufgabe:

Leite die Formel für die Länge der Raumdiagonalen eines \( d \) eines Würfels her.


Problem/Ansatz:

Ich habe hier keine Ahnung…kann jemand helfen?

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Leite die Formel für die Länge der Raumdiagonalen eines \( d \) eines Würfels her.

Gemeint ist eine Formel der Form

        \(d = \text{[Term]}\)

wobei \(\text{[Term]}\) ein Term ist, in dem \(a\) die einzige Variable ist.

Verwende dazu den Satz des Pythagoras. Das Dreieck \(ACG\) ist rechtwinklig und das Dreieck \(ABC\) ist rechtwinklig.

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Aloha :)

Hier hilft uns der Satz vom Pythagoras weiter.

Die Diagonale \(d_1\) ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Katheten \(a\) und \(a\); der rechte Winkel liegt bei Punkt \(B\). Nach Pythagoras gilt nun:$$\pink{d_1^2}=a^2+a^2=\pink{2a^2}$$

Die Diagonale \(d\) ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Katheten \(d_1\) und \(a\); der rechte Winkel liegt bei Punkt \(C\). Nach Pythagoras gilt daher:$$d^2=\pink{d_1^2}+a^2=\pink{2a^2}+a^2=3a^2$$

Da wir die Raumdiagonale suchen und nicht deren Quadrat, müssen wir noch wurzeln:$$d=\sqrt{d^2}=\sqrt{3\,a^2}=\sqrt3\cdot a$$

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