Aloha :)
Hier hilft uns der Satz vom Pythagoras weiter.
Die Diagonale \(d_1\) ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Katheten \(a\) und \(a\); der rechte Winkel liegt bei Punkt \(B\). Nach Pythagoras gilt nun:$$\pink{d_1^2}=a^2+a^2=\pink{2a^2}$$
Die Diagonale \(d\) ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Katheten \(d_1\) und \(a\); der rechte Winkel liegt bei Punkt \(C\). Nach Pythagoras gilt daher:$$d^2=\pink{d_1^2}+a^2=\pink{2a^2}+a^2=3a^2$$
Da wir die Raumdiagonale suchen und nicht deren Quadrat, müssen wir noch wurzeln:$$d=\sqrt{d^2}=\sqrt{3\,a^2}=\sqrt3\cdot a$$
