Quotient konvergenter Folgen beweisen

Question

Seien \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergente Folgen reeller Zahlen mit \(b_n =: b \not = 0\). Dann gibt es ein \( n_0 \in \mathbb{N}\), so dass \( b_n \not = 0 \) für \( n \ge n_0 \) und die Quotientenfolge \( (a_n / b_n)_{n \ge n_0} \) konvergiert.

Beweis:

Zunächst wird der Speziallfall behandelt, dass \((a_n)\) die konstante Folge \(a_n =1\) ist. Da \( b \not = 0\), ist \( |b|/2 >0\), es gibt also ein \( n_0 \in \mathbb{N}\) mit

\(|b_n - b| < |b|/2\) für alle \(n \ge n_0\).

Daraus folgt \( |b_n| \ge |b|/2 \), insbesondere \( b_n \not = 0\) für \( n \ge n_0\).

Den letzten Teil verstehe ich nicht. Wieso ist \( |b_n| \ge |b|/2 \)?

Answer 1

Vermutlich meinst du \(\color{#00f}{\lim\limits_{n\to\infty}}b_n=:b\neq0\).
Nach der umgekehrten Dreiecksungleichung gilt
\(\frac12|b|\geq|b_n-b|\geq|b|-|b_n|.\) Daraus folgt \(|b_n|\geq\frac12|b|.\)

Comments

Ich verstehe folgende Umformung nicht:

\(\frac12|b|\geq|b_n-b|\)

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Das ist Zeile 3 deines Beweises.