Beweis einer Nullstelle zeigen

Question

Aufgabe:

b) Sei \( n \geq 2 \) und \( P(x)=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{n-1} x^{n-1}+x^{n} \) ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeigen Sie:
\( \text { Ist } \xi \in \mathbb{R} \text { Nullstelle von } P \text {, so gilt }|\xi| \leq 1 \text { oder }\left|\xi+a_{n-1}\right| \leq \sum \limits_{i=0}^{n-2}\left|a_{i}\right| \text {. } \)

Problem/Ansatz:

Ich finde hier einfach keinen Ansatz, brauche aber den Beweis für die folgenden Aufgaben.

Comments

In Textform würde es lauten:

Sei n eine Zahl größer als 2 und P(x)=a0+a1x+...+an-1*x1^n-1+x^n. Es handelt sich dabei um ein Polynom mit reellen Koeffizienten.

Überprüfen ob E Element von R eine Nustelle des Polynoms ist. Es gilt IEI kleiner, gleich 1 oder IE+an-1I< Summe ab o bis n-2 IaiI

Hoffentlich reicht dies um die Meldung aufzuheben, da ich keine Bearbeitung vornehmen kann.

Answer 1

Wenn also x eine Nullstelle von P ist und \(|x|>1\), dann gilt:

$$0=|P(x)|=|x|^{n-1}|\sum_{i=0}^n a_ix^{i+1-n}| \geq |x|^{n-1}\left(|x+a_{n-1}|-|\sum_{i=0}^{n-2} a_ix^{i+1-n}|\right) $$

$$ \geq |x|^{n-1}\left(|x+a_{n-1}|-\sum_{i=0}^{n-2} |a_i||x^{i+1-n}|\right) \geq |x|^{n-1}\left(|x+a_{n-1}|-\sum_{i=0}^{n-2} |a_i|\right)$$