Aloha :)
Neben der direkten Bedinung \(x^2+y^2\le4\) fordert die Bedingung \(z^2=x^2+y^2-1\) indirekt, dass \(x^2+y^2\ge1\) gelten muss. Daher können wir folgenden Ortsvektor \(\vec r\) formulieren, der alle Punkte der Menge \(F\) abtastet:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\\sqrt{r^2-1}\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[1;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$
Genau genommen müsste die \(z\)-Koordinate \(z=\pm\sqrt{r^2-1}\) lauten. Wegen der Symmetrie des Problems reicht es aber, wenn wir nur die Fläche oberhalb der xy-Ebene mit unserem Ortsvektor abtasten und dafür den Faktor \(2\) vor das Integral schreiben.
Das Flächenelement wird beim Übergang zu den gewählten Koordinaten verzerrt:$$d\sigma=\left\|\frac{\partial\vec r}{\partial r}\,dr\right\|\times\left\|\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi\right\|=\left\|\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\frac{r}{\sqrt{r^2-1}}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\right\|\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{d\sigma}=\left\|\begin{pmatrix}\frac{-r^2}{\sqrt{r^2-1}}\cos\varphi\\[1ex]\frac{- r^2}{\sqrt{r^2-1}}\sin\varphi\\r\end{pmatrix}\right\|\,dr\,d\varphi=\sqrt{\frac{r^4}{r^2-1}\cos^2\varphi+\frac{r^4}{r^2-1}\sin^2\varphi+r^2}\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{d\sigma}=\sqrt{\frac{r^4}{r^2-1}+r^2}\,dr\,d\varphi=\sqrt{\frac{2r^4-r^2}{r^2-1}}\,dr\,d\varphi=r\sqrt{\frac{2r^2-1}{r^2-1}}\,dr\,d\varphi$$
Damit können wir das gesuchte Integral formulieren:$$I=2\cdot\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sqrt{r^2-1}\cdot\underbrace{r\sqrt{\frac{2r^2-1}{r^2-1}}\,dr\,d\varphi}_{d\sigma}=2\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=1}^2r\sqrt{2r^2-1}\,dr$$$$\phantom{I}=2\cdot2\pi\cdot\left[\frac{1}{6}\left(2r^2-1\right)^{\frac32}\right]_1^2=\frac23\pi\left(7\sqrt7-1\right)$$
