Bestimmen Sie die lineare Approximation T1 sowie das Taylorpolynom vierten Grades T4 der Funktion f(x) = x/(1-x) in …

Question

Ich stecke leider bei folgender Aufgabe fest und weiß nicht wie ich hier richtig verfahren soll, wäre sehr hilfreich wenn jemand hierfür passende Lösungsansätze mitteilen könnte. Ich bedanke mich im Voraus

Man kann mithilfe der Ableitung eine differenzierbare Funktion lokal linear approximieren:
f(x) ≈ f(x0) + f '(x0) × (x − x0) in einer Umgebung von x0

bzw. mit x = x0 + h

f(x0 + h) ≈ f(x0) + f '(x0) × h für hinreichendes kleines h.

Für eine bessere Approximation (einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion) bietet es sich daher an, statt einer Geraden, d.h. einem Polynom ersten Grades, ein Polynom Tn vom Grad n anzusetzen.

Die Forderungen \( T_{n}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right), T_{n}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right), T_{n}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right), \ldots, T_{n}^{(n)}\left(x_{0}\right)=f^{(n)}\left(x_{0}\right) \) dann auf das sogenannte Taylorpolynom dritten Grades von f an der Stelle x0:

\( \begin{aligned} T_{n}(x) &=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{n} \\ &=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k !} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k} \end{aligned} \)

und es gilt die Taylorformel: f(x) = Tn(x) + Rn(x) mit dem Restglied

\( R_{n}(x)=\int \limits_{x_{0}}^{x} \frac{(x-t)^{n}}{n !} \cdot f^{(n+1)}(t) d t \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{R_{n}(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=0 \)

falls f (mindestens) (n + 1)-mal stetig differenzierbar ist. Man kann zudem zeigen, dass gilt:

\( R_{n}(x)=\int \limits_{x_{0}}^{x} \frac{(x-t)^{n}}{n !} \cdot f^{(n+1)}(t) d t=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{n+1} \) für ein ξ zwischen x0 und x.

a) Bestimmen Sie die lineare Approximation T1 sowie das Taylorpolynom vierten Grades T4 der Funktion f(x) = x/(1-x) in x0 = 0 und vergleichen Sie die Funktionswerte von f, T1 und T4 an den Stellen 0.5, ± 0.1, ± 0.01 und 0.

b)  Bestimmen Sie für die Funktion f aus Teil (a) eine obere Schranke für den Fehler

\( R_{n}(x)=\int \limits_{x_{0}}^{x} \frac{(x-t)^{n}}{n !} \cdot f^{(n+1)}(t) d t=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{n+1} \)

für x ∈ \( \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \)

indem Sie das Restglied Rn(x) aus der Aufgabenstellung geeignet abschätzen.

Answer 1

Hallo,

.. und weiß nicht wie ich hier richtig verfahren soll

es wäre hilfreich, wenn Du konkret mitteilst was Du nicht weißt. Im Grunde ist das hier nur das Ableiten einer Funktion (kannst Du das) und dann Einsetzen. Mehr nicht! Alles andere ist oben ja explizit gegeben.

Die Ableitungen der Funktion bis zur vierten Ableitung sind:$$\begin{aligned} f(x)&=\frac{x}{1-x} &f(0)&= 0\\ f'(x)&=\frac{1}{(1-x)^2} &f'(0)&= 1\\ f''(x)&=\frac{2}{(1-x)^3} &f''(0)&= 2\\ f'''(x)&=\frac{6}{(1-x)^4} &f'''(0)&= 6\\ f^{(4)}(x)&=\frac{24}{(1-x)^5} &f^{(4)}(0)&= 24\\ \end{aligned}$$und das in die allgemeine Tyalorreihe bis zum vierten Grad einsetzen gibt:$$T_{4}f(x;0) = 0 + \frac{1}{1!}\cdot x + \frac 1{2!} \cdot 2x^2 + \frac 1{3^!}\cdot 6x^3 + \frac1{4!}\cdot 24x^4\\\phantom{T_{4}f(x;0)}=x+x^2+x^3+x^4$$Der Vergleich der Funktionswerte sollte gar kein Problem sein:$$\begin{array}{r|rrr}x& f(x)& T_1& T_4\\\hline -0,1& -0,090909091& -0,1& -0,0909\\ -0,01& -0,00990099& -0,01& -0,00990099\\ 0& 0& 0& 0\\ 0,01& 0,01010101& 0,01& 0,01010101\\ 0,1& 0,111111111& 0,1& 0,1111\\ 0,5& 1& 0,5& 0,9375\end{array}$$Im Bild sieht das so aus:

https://www.desmos.com/calculator/8jf9eg6qcr

Der Graph von \(f\) ist blau, der von \(T_1\) ist grün und der Graph von \(T_4\) ist lila dargestellt.

b)  Bestimmen Sie für die Funktion f aus Teil (a) eine obere Schranke für den Fehler

Das Restglied ist hier angegeben mit$$R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\\ R_4 = \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}(x)^{5} = \frac{\frac{5!}{(1-\xi)^6}}{5!}x^5 = \frac{1}{(1-\xi)^6}x^5\\$$Das \(\xi\) ist hier der Wert zwischen \(x_0\) und \(x\) für den \(R_n\) maximal groß wird. Für \(x=0,5\) wäre das also \(\xi=0,5\). Folglich ist$$R_4(x=0,5) = 2$$Oben im Bild habe ich dieses Intervall rot eingezeichnet. \(R_4(x=0,1)\) wäre mit \(\approx 0,00002\) deutlich kleiner und der zugehörige rote Balken wäre im Bild gar nicht zu sehen. Ziehe mit der Maus den Punkt auf \(T_4\) nach links, dann siehst Du, wie das Restglied schrumpft.

Gruß Werner