Jedoch verstehe ich die Letzte Frage noch nicht oder kann sie mit meinem Wissen noch nicht lösen.
"Für welche Belegung von x wird der Flächeninhalt eines Dreiecks maximal? Berechne Amax"
Na ja - Du solltest zumindest wissen, ob Du die Frage selbst verstehst. Dazu muss man noch nicht wissen, weiß man es löst!
Schau Dir dazu mal das BIld hier an.
Durch Verschieben des Punktes \(B\) mit der Maus ändert sich auch Punkt \(C\), dessen X-Koordinate das \(x\) für die Flächenberechnung \(A(x)\) ist:$$A(x)= -0,25x^2 +3,75x +6$$Von \(x=1\) ausgehend wächst die Fläche des Dreiecks an und erreicht dann bei \(x=7,5\) ein Maximum.
Der Graph der Kurve \(A\) über \(x\) ist eine nach unten offene Parabel, die ich oben rot dargestellt habe.
Das Maximum \(A_{\max}\) kann man berechnen indem man \(A(x)\) ableitet und die Ableitung zu 0 setzt$$A'(x)= -0,5x_{\text{opt}} + 3,75 = 0 \implies x_{\text{opt}}= \frac{3,75}{0,5} = 7,5$$oder die Funktion \(A(x)\) in die Scheitelpunktform umwandelt$$\begin{aligned} A(x) &= -0,25x^2 +3,75x +6 \\ &= -\frac{1}{4}\left(x^2 -15x - 24\right) \\ &= -\frac{1}{4}\left(x^2 -15x +(7,5)^2 - (7,5)^2- 24\right) \\ &= -\frac{1}{4}\left((x^2 -7,5)^2 - 80,25\right) \\ &= -\frac{1}{4}\left(x^2 -{\color{red}7,5}\right)^2 + 20,0625 \\ \implies x_s &= 7,5 \end{aligned}$$