Zeigen Sie, dass diese Folge streng monoton fallend ist und gegen den Grenzwert e konvergiert

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Folge (an)n mit
an= (1+1/n)^(n+1)
Zeigen Sie, dass diese Folge streng monoton fallend ist und gegen den Grenzwert e kon- vergiert.

Problem/Ansatz:

Habe Probleme mit dieser Aufgabe. Kann mir wer helfen? Dankeschön!!

Answer 1

$$\text{Um zu zeigen, dass die Funktion streng monoton fallend ist reicht es zu zeigen, dass }\forall n\in \mathbb N\newline \text{gilt }a_n \geq a_{n+1}$$

$$\text{Einige Sachen sollten bei euch schon als festdefiniert gelten, dazu sollte die Grenzwertberechnung}\newline\text{von } e \text{ gehören. Die ist so definiert: }\lim\limits_{n\to\infty} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n .\newline \text{Wenn du nun deine Funktion anschaust, sollte dir folgendes auffallen. }\newline \lim\limits_{n\to\infty} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n}*\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)=\lim\limits_{n\to\infty} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n}*\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg).\newline= e*\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) =e * 1=e\newline \text{Ich hoffe ich konnte dir helfen.}$$

Comments

Du konntest mir sehr helfen! Danke!

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Mir ist aufgefallen das dort ein kleiner Fehler ist, ich kann den nun aber nicht mehr bearbeiten...

für deinen Aufgabenteil (a) musst du zeigen $$a_n>a_{n+1}\space \forall n\in\mathbb N$$ und nicht $$a_n\geq a_{n+1}\space \forall n\in\mathbb N$$

Du solltest zeigen, dass es streng monoton fällt und nicht nur monoton fällt.

Entschuldige bitte den kleinen Fehler.

Gruß MnL

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Alles gut, danke dir nochmal :)

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Aber die Monotonie ist doch noch nicht gezeigt, oder übersehe ich da etwas?

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Ich habe bei diesem Aufgabenteil nicht gezeigt, dass die Fkt. streng monoton fallend ist, sondern nur gesagt, wie man darauf kommen könnte. Ob es wirklich so ist und wie die rechnung aussieht kann man sich ab da an auch selbst überlegen. Es geht auch daraum zum selbstdenken anzuregen. Welche art von Berechnung man dann nimmt ist egal:

$$a_n>a_{n+1}\left\{ \begin{array}{ll} \Rightarrow a_n-a_{n+1} &>0 \\ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} &>1 \\ \end{array} \right.$$