Grenzwert gebrochenrationaler Folge

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Folge $$ (\frac{1+2n^3}{3n^3+n+1})n∈N. $$ Wir sehen, dass
$$ \frac{1+2n^3}{3n^3+n+1}=\frac{2n^3+1}{3n^3+n+1}=\frac{2+\frac{1}{n^3}}{3+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}}. $$
Nun berechnen wir
$$ \lim\limits_{n\to\infty}(2+\frac{1}{n^3})=\lim\limits_{n\to\infty}(2)+(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n})^3=2+0=2. $$
Analog ist $$ \lim\limits_{n\to\infty}(3+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})=3. $$

Problem/Ansatz:

Moin!Das ist eine Beispielrechnung zu Folgen und deren Grenzwerten aus unserem Skript. Ich verstehe nicht wirklich, wie hier die Folge verändert wird. Mich verwirrt, dass auf einmal überall 1/n^2 und 1/n^3 steht. Woher kommt das und wieso macht man das?

$$ \frac{1+2n^3}{3n^3+n+1}=\frac{2n^3+1}{3n^3+n+1}=\frac{2+\frac{1}{n^3}}{3+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}} $$

Ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen und bedanke mich schon mal! :)

Answer 1

Die höchste Potenz sowohl im Zähler als auch im Nenner ist \(n^3\). Die lässt sich ausklammern und wegkürzen. Danach befinden sich im Zähler und im Nenner nur noch konstante Folgen oder Nullfolgen.Hier die Rechnung mit dem Zwischenschritt des Ausklammerns: $$\frac{2n^3+1}{3n^3+n+1}=\frac{n^3\cdot\left(2+\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\cdot\left(3+\frac{n}{n^3}+\frac{1}{n^3}\right)}=\frac{2+\frac{1}{n^3}}{3+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}} $$

Answer 2

Das nennt man "Kürzen". Das Kürzen eines Bruchs besteht seit Klasse 5 darin, dass man Zähler und Nenner durch den gleichen (von 0 verschiedenen) Wert teilt.

Answer 3

Man kürzt mit der höchsten Potenz von n. Das ist im Beispiel n³.

Und z.B. n/n³ = 1/n².

$$ \frac{1+2n^3}{3n^3+n+1}=\frac{(2n^3+1)/n^3}{(3n^3+n+1)/n^3}=\frac{2+\frac{1}{n^3}}{3+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}} $$

Comments

Das würde ich eher Erweitern statt Kürzen nennen...

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Zähler und Nenner durch n³ dividieren ist Kürzen mit n³.