Hallo,
ich gehe dann mal von epsilon / delta aus. Es sei also w der links- und rechtsseitige Grenzwert im Punkt a aus D, d.h.
$$\forall \epsilon>0: \quad \exists \delta>0:\quad f:\;(a-\delta,a) \to (w-\epsilon,w+\epsilon) \text{ linksseitig}$$
$$\forall \epsilon>0: \quad \exists \delta>0:\quad f:\;(a,a+\delta) \to (w-\epsilon,w+\epsilon) \text{ rechtsseitig}$$
Dann ist w auch Funktionsgrenzwert von f im Punkt a. Denn: Es sei \(\epsilon>0\) gegeben. Wir wählen dazu \(\delta_1\) gemäß "linksseitig" und \(\delta_2\) gemäß "rechtsseitg" und setzen \(\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}\). Dann gilt
$$(a-\delta,a+\delta) \setminus\{a\} \sube (a-\delta_1,a) \cup (a,a+\delta_2) \\ \Rightarrow f:\;(a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\} \to (w-\epsilon,w+\epsilon)$$
Gruß Mathhilf