Eine Aufgabe zu Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Zeige: Falls zu einer Funktion f und einem Punkt x₀ ∈ D beide einseitige Limes existieren und gleich

sind, so existiert auch der Limes im Punkt x₀.

Wie zeige ich sowas?

Comments

Hallo

Einfach die Stetigkeit Definition anwenden.

lul

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Wo steht hier etwas von Stetigkeit?

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Wie habt Ihr denn den Funktionsgrenzwert definiert (Folgen oder epsilon / delta)?

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Hallo, danke erstmal für viele Hilfe. Habe das aus dem Skript rausgesucht:

... \( \lim\limits_{x\to\\x_0} \) f = f(x₀) ...

Beispiel:

....x, y ∈ [a, b] |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|, so ist f stetig auf [a, b].....

Sollte die Epsilon / Delta Geschichte sein. Nur bin ich leicht überfordert und hab meine Lösung für diese Aufgabe lediglich mit Text als mit "Rechnungen bewiesen" @Mathhilf

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Wir hatten das mit der Folgen-Definition :^)

Falls F∈ℝ existiert, sodass für jede Folge D\{a}∋a_n → a, n → ∞, f(a_n) → F, n → ∞, so sagen wir, f konvergiert für x gegen a gegen F

Answer 1

Hallo,

ich gehe dann mal von epsilon / delta aus. Es sei also w der links- und rechtsseitige Grenzwert im Punkt a aus D, d.h.

$$\forall \epsilon>0: \quad \exists \delta>0:\quad f:\;(a-\delta,a) \to (w-\epsilon,w+\epsilon) \text{ linksseitig}$$

$$\forall \epsilon>0: \quad \exists \delta>0:\quad f:\;(a,a+\delta) \to (w-\epsilon,w+\epsilon) \text{ rechtsseitig}$$

Dann ist w auch Funktionsgrenzwert von f im Punkt a. Denn: Es sei \(\epsilon>0\) gegeben. Wir wählen dazu \(\delta_1\) gemäß "linksseitig" und \(\delta_2\) gemäß "rechtsseitg" und setzen \(\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}\). Dann gilt

$$(a-\delta,a+\delta) \setminus\{a\} \sube (a-\delta_1,a) \cup (a,a+\delta_2) \\ \Rightarrow f:\;(a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\} \to (w-\epsilon,w+\epsilon)$$

Gruß Mathhilf