Zeigen Sie, dass die Liste p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} linear abhängig ist.

Question

Komme bei Aufgabe b,c nicht weiter.

Könnte mir jemand weiter helfen ? (hab noch keinen Ansatz)

Text erkannt:

Gegeben seien die durch die Terme
\( x^{2}-2 x+1,-x^{3}-x, 3 x-2 \text { und } x^{3}+x^{2}+2 x-1 \)
definierten Polynome \( p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) \).
(a) Zeigen Sie, dass die Liste \( p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \) linear abhängig ist.
(b) Schreiben Sie das durch \( 2 x^{3}+5 x^{2}+13 x-9 \) definierte Polynom auf drei verschiedene Weisen als Linearkombination der Polynome \( p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \).
(Hinweis: \( p_{1}+p_{2} \) und \( 2 p_{1}-p_{1}+p_{2} \) sind nicht zwei verschiedene Linearkombinationen von \( p_{1} \) und \( p_{2} \).)
(c) Geben Sie begründet eine maximale Teilliste von \( p_{1}, \ldots, p_{4} \) an, die linear unabhängig ist.

Comments

Bei a) hast du doch herausgefunden, dass eines

Polynome eine Linearkombination der anderen 3 ist.

Was hast du bekommen ?

Answer 1

Komme bei Aufgabe b,c nicht weiter.

Also hast du a)?

Mit a) hast du gezeigt, dass sich eins der 4 Polynome als Linearkombination der übrigen Polynome darstellen lässt.

Erzeuge nun \( 2 x^{3}+5 x^{2}+13 x-9 \) einmal unter Verwendung aller Polynome und einmal durch Ersetzung eines Polynoms durch die anderen.

Comments

Text erkannt:

Sei \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4} \in \mathbb{R} \) so gewähH
class \( \lambda_{1}+\lambda_{2} p_{2}+\lambda_{3} p_{3}+\lambda_{4} p_{v}=0 \) is
Einsctien:
\( \begin{array}{l} \lambda_{1}\left(x^{2}-2 x+1\right)+\lambda_{2}\left(-x^{3}-x\right)+\lambda_{3}(3 x-2)+\lambda_{4}\left(x^{3}+x^{2}+2 x-1\right) \Leftrightarrow \\ \lambda_{1} x^{2}+\left(-2 x \lambda_{1}\right)+\lambda_{1}\left(-x^{3} \lambda_{2}\right)+\left(x \lambda_{2}\right)+3 x \lambda_{5}+\left(-2 \lambda_{2}\right) x^{3} \lambda_{4}+x^{2} \lambda_{1}+2 x \lambda_{4}+\left(\lambda_{4}\right) \Leftrightarrow \\ x^{3}\left(-\lambda_{2}+\lambda_{4}\right)+x^{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{4}\right)+x\left(-2 \lambda_{1}-\lambda_{2}+3 \lambda_{2}+2 \lambda_{4}\right)+\left(\lambda_{1}-2 \lambda_{3}-\lambda_{4}\right)= \\ x^{3} \cdot 0+x^{2} \cdot 2+x \cdot 0+1 \cdot(-2 \\ =0 \text { polynom } \quad I=\lambda_{2}+\lambda_{v}=0 \\ \begin{array}{ll} x^{3} \cdot 0+x^{2} \cdot 0+x \cdot 0+1 \cdot 0 & I=\lambda_{2}+\lambda_{y}=0 \\ & I I=\lambda_{1}+\lambda_{4}=0 \\ I I & =-\lambda_{1}-\lambda_{2}+3+2=0 \end{array} \\ \left(\begin{array}{cccc|c} 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \end{array}\right) \\ \text { IV }=\mu_{1}-2 \lambda_{3}-1 \lambda_{1}=0 \\ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right) \\ \end{array} \)
4.
5.
\( 3.4 \) und \( 2 \cdot 3 \)
\( \left(\begin{array}{rrrr|l} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)
Also gilt \( a, b, c, d=0 \)
und damit sind sie Lincar Abhangis

so sieht Aufgabe a bei mir aus

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Wie gehe ich jetzt weiter vor?

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mache ich das mit der Matrix?

Answer 2

schau mal bei

https://www.mathelounge.de/974672/maximale-teilliste-von-polynome

Comments

danke dir!!!!