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Aufgabe:

In Abb. Rechts ist der Graph der Funktion f mit f(x)=–1/8x4+x2, 0<x<2.8 und ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck gegeben. Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks soll im Intervall [0|2.8] maximal werden. Der linke untere Eckpunkt des Dreiecks liegt im Ursprung, der Rechte untere Eckpunkt auf der x–Achse zwischen 0 und 2.8. Die rechte obere Ecke liegt auf dem Punkt P. Am rechten unteren Eckpunkt liegt der rechte Winkel.

a) Ermitteln Sie wo P liegen muss, damit der Inhalt des Dreiecks maximal wird.

b) Bestimmen die den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks.

[Zwischenergebnis: A(x)=–1/16x5+1/2x3]


Problem/Ansatz:

Hauptbedingung A= 1/2 x g x h

Nebenbedingung: –1/8u4+u2

In HB einsetzen:

A= 1/2 x u (–1/8u4+u2)

= –1/16u5+1/2u3

f‘(x)= –5/16x4+1.5x2

x1= -2.19 x2= 0 x3=0 x4= 2.19

f‘‘(x)= -5/4x3+3x

N.K:

f‘‘(x)= <0

f‘‘(2.19)= 8.4 cm3

f(2.19)= 1.92


Ist das alle so richtig gerechnet?

Welches Ergebnis ist jetzt aber für welche Aufgabe? Das verwirrt mich noch etwas…FC55A065-D039-442B-980D-D437D56A223E.jpeg

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2 Antworten

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Hallo

Deine Rechnung ist richtig für x=0 ist die Fläche ja 0 das Dreieck nur ein Punkt,  der negative Wert liegt ausserhalb des Definitionsgebietes.

a ) ist de Punkt (2,19,f(2,19 )

b) musst du noch die Fläche ausrechnen

(du solltest für Variable nicht 3 Namen benutzen  zuerst  g,h  dann u, dann x)

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Hallo Danke schonmal!

Meinst du für:

a) P(2.19|1.92) oder P(2.19|2.19)

b) wie errechnet man diesen?

danke

Hallo

mit der Formel dazu hast du doch angefangen? und natürlich liegt nur  P(2.19|1.92) auf der Kurve.

lul

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"In Abb. Rechts ist der Graph der Funktion f mit f(x)=1/8x4+x2,0<x<2.8f(x)=–1/8x^4+x^2, 0<x<2.8 und ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck gegeben. Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks soll im Intervall [0|2.8] maximal werden. Der linke untere Eckpunkt des Dreiecks liegt im Ursprung, der Rechte untere Eckpunkt auf der x–Achse zwischen 0 und 2.8. Die rechte obere Ecke liegt auf dem Punkt P. Am rechten unteren Eckpunkt liegt der rechte Winkel."

Unbenannt.JPG

A(u)=12u(18u4+u2)=116u5+12u3A(u)= \frac{1}{2}*u*(-\frac{1}{8}*u^4+u^2)=-\frac{1}{16}*u^5+\frac{1}{2}*u^3 soll maximal werden.

A´(u)=516u4+32u2A´(u)=-\frac{5}{16}*u^4+\frac{3}{2}*u^2

516u4+32u2=0-\frac{5}{16}*u^4+\frac{3}{2}*u^2=0

u2(516u2+32)=0u^2*(-\frac{5}{16}u^2+\frac{3}{2})=0

u2=0u^2=0 kommt nicht in Betracht.

516u2+32=0-\frac{5}{16}u^2+\frac{3}{2}=0

516u2=32\frac{5}{16}u^2=\frac{3}{2}

u2=32165=4,8u^2=\frac{3}{2}*\frac{16}{5}=4,8

u=4,8u=\sqrt{4,8}

Unbenannt.JPG

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Danke! Wie kommst du auf den Flächeninhalt?

ich mische mich einmal ein.

x-Stelle des Extremwerts
x = √ 4.8
y-Stelle
y = f ( x )

Die Fäche des Dreiecks ist

x * y / 2

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