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53. Zeigen Sie für \( |x|<1 \) :
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} k x^{k}=\frac{x}{(1-x)^{2}} \)
Hinweis: Arbeiten Sie mit der PSF. Nutzen Sie \( k=\sum \limits_{j=1}^{k} 1 \),

Aufgabe:

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Wikipdia sagt: PSF steht als Abkürzung für: Parti social français (1936–1941)

Ob uns das hilft. Also: Was bedeutet PSF bei Euch?

PSF= Partialsummenfolge

Was ist denn da mit rot geschwärzt? Das könnte für die Lösung wichtig sein.

1 Antwort

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Beste Antwort

Also sei es mit der Partialsummenfolge: Wir vertauschen die Reihenfolge der Summation (3. Gleichung) und benutzen die Formel für die geometrische Summe (4. Gleichung)

$$\sum_{k=1}^nkx^k=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^kx^k=\sum_{j=1}^n\sum_{k=j}^nx^k=\sum_{j=1}^n\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}-\frac{x^{j}-1}{x-1}\right)$$

$$=\frac{1}{x-1}\left(nx^{n+1}-x\frac{x^n-1}{x-1}\right)=\frac{nx^{n+1}}{x-1}-\frac{x^{n+1}}{(x-1)^2}+\frac{x}{(x-1)^2}$$

Die Terme, die noch ein n enthalten gehen wegen \(|x|<1\) gegen 0.

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