Also sei es mit der Partialsummenfolge: Wir vertauschen die Reihenfolge der Summation (3. Gleichung) und benutzen die Formel für die geometrische Summe (4. Gleichung)
$$\sum_{k=1}^nkx^k=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^kx^k=\sum_{j=1}^n\sum_{k=j}^nx^k=\sum_{j=1}^n\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}-\frac{x^{j}-1}{x-1}\right)$$
$$=\frac{1}{x-1}\left(nx^{n+1}-x\frac{x^n-1}{x-1}\right)=\frac{nx^{n+1}}{x-1}-\frac{x^{n+1}}{(x-1)^2}+\frac{x}{(x-1)^2}$$
Die Terme, die noch ein n enthalten gehen wegen \(|x|<1\) gegen 0.
