Volumenfunktion erstellen für Zirkuszelt (Zylinder mit aufgesetztem Kreiskegel)

Question

Aufgabe zu Volumen:

Ein Zirkuszelt hat die abgebildete Form:

Die Oberfläche ohne Boden beträgt 200 m². Es soll eine Volumenfunktion in Abhängigkeit von r ermittelt werden sowie ein geeigneter Definitionsbereich. Zeichnen Sie den Graphen mit Hilfe einer Wertetabelle.

Answer 1

 Soll das unten ein Halbkreis sein? Ansonsten hätte ich keine Idee Volumen und Oberfläche aufzustellen!

Das Zirkuszelt ist nicht ganz durchsichtig (d.h. von aussen) gezeichnet. Du kannst aber davon ausgehen, dass es aus einem Kreiszylinder mit aufgesetztem Kreiskegel besteht.

Eine klarere Skizze davon z.B. hier: https://www.mathelounge.de/85750/zylinder-mit-aufgesetztem-kegel-berechne-hohe-des-zylinders

M_{gerader Kreiskegel}  = πrs = πr √(r^2 + (r/2)^2)

=πr √(r^2 + r^2/4) 

=πr^2 √(1 + 1/4) 

= πr^2 * √5/ 2

O =  πr^2 * √5/ 2 + 2πrh = 200

nach h auflösen.

200 -  πr^2 * √5/ 2 = 2πrh

(200 -  πr^2 * √5/ 2)/(2πr)  = h

Daher

V = πr² * h + πr³ / 6

= πr²(h + r/6)

V(r) =  πr²((200 -  πr^2 * √5/ 2)/(2πr) + r/6) 

Vereinfacht ergibt das https://www.wolframalpha.com/input/?i=V%28r%29%3D+100+r%2B%28π+r%5E3%29%2F6-1%2F4+sqrt%285%29+π+r%5E3

Zum Definitionsbereich: Jedenfalls muss gelten r > 0

Ausserdem auch h>0

Also (200 -  πr^2 * √5/ 2)/(2πr) ≥0       |*2πr

(200 -  πr^2 * √5/ 2) ≥0

200 ≥  πr^2 * √5/ 2

400/(√5*π) ≥ r^2

r≤ 20/√(√5 *π)

Definitionsbereich (ohne Gewähr!)

D = 0<r ≤ 20/√(√5 *π)

Comments

Kannst du mir mal deine Lösung sagen für Volumen und Oberfläche?

Ich habe beim Kreiszylinder, sofern es 1/2 ist von einem, 1,57r²h und beim Kreiskegel 3,14r²h/12

V=21,98r²h/12

Ich glaube da ist ein Fehler drin.

Könntest du mir dann helfen?

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Du musst einfach den ganzen Zylinder und Kegel nehmen. Zudem ist beim Kegel die Höhe r/2 und nicht h.

Also V = πr^2 * h + πr^3 / 6

= πr^2(h + r/6)

Schreib aber den Text der Aufgabenstellung noch ab. Den kann man nicht lesen. Ich glaube, dass da die Oberfläche gegeben ist. So könnte das  h des Zylinders noch durch O ausgedrückt werden.

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Ja, die Oberfläche ohne Boden beträgt 200m². Es soll eine Volumenunktion in Abhängigkeit von r ermittelt werden, sowie ein geeigneter Definitionsbereich.

Wie berechnest du das Volumen von einem Kreiszylinder? In meiner Formelsammlung steht

VK=(1/3)r²*Pi*h

VK=Volumen Kreiskegel

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VK=(1/3)r²*Pi*h

Das ist richtig. Schau nun die Zeichnung an: Da ist die Höhe mit r/2 beschriftet.

Daher: VK=(1/3)r²*Pi*r/2   |nach allen Regeln des Bruchrechnens

= (1/6) πr^3

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ok, nun zu der Oberfläche, weil ich ja h bestimmen will.

O Zylinder=6,28rh (Mantel)+3,14r² (Grundfläche)

O Kegel: Hier benötige ich ja nur den Mantel bei der Oberfläche, oder? Mantel=r*Pi*m

m habe ich ermittelt=(r/2)*√5) Mantel=r*3,14*((r/2)√5)

Mantel=3,14r(r/2*√5)

O=6,28r+3,14r²+(3,14r(r/2)√5)

Ist das falsch?

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O Zylinder=6,28rh (Mantel)+3,14r² (Grundfläche)

Lass die Grundfläche weg. Das Zelt hat keinen Boden und oben schliesst ja der Kegelmantel ab.

Daher:

O Zylinder=6,28rh (Mantel)

m habe ich ermittelt=(r/2)*√5)

Mantel=r*3,14*((r/2)√5)

Mantel=3,14r(r/2*√5)

O=6,28rh +(3,14r(r/2)√5)

Ich würde allerdings π nicht runden; √5 ist ja auch ein genauer Wert.

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An unserer Schule gilt für Pi=3,14

Kannst du mir deinen h-Wert nennen und folglich die Volumenformel

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Schau mal (ganz) oben. Und vergleiche mit deinem Resultat. Bei Fehlern bitte Berichtigung melden.

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Ja, ich meine V(r).

Mein h ergibt: (200-(3,14r/2*√5))/6,28r

Aber wenn ich mein h jetzt einsetze, habe ich keinen Überblick mehr im Moment.

Könntest du mir V(r) ausrechnen, Schritt für Schritt. Gibt es nicht so ein Tool, damit man das so schon übersichtlich sieht mit Bruchstrichen und allen drum und dran?

Danke dir!

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Kann jemand hier mal die Volumenormel aufstellen mit h?

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Du kannst mit unseren Formeln hier rein:

Mein Resultat:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=V%28r%29+%3D++πr%5E2%28%28200+-++πr%5E2+*+√5%2F+2%29%2F%282πr%29+%2B+r%2F6%29+

Bei deinem musst du noch klammern und Punkte statt Kommas verwenden:

Dein h ist:

h(r) = (200-(3.14r^2/2*√5))/(6.28r)

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Für welche Werte ist dein Volumen größer 0?

Nur dann machts ja Sinn.

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Zitat:

Definitionsbereich (ohne Gewähr!)

D = 0<r ≤ 20/√(√5 *π)

Rechnung oben.

Genauer und schöner hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+πr%5E2%28%28200+-++πr%5E2+*+√5%2F+2%29%2F%282πr%29+%2B+r%2F6%29+%3D+0