Wie löst man diese Aufgabe ohne Ungleichung?

Question

Aufgabe:

Hey, ich hätte eine Frage bezüglich der Beschränktheit von Folgen. Mir ist klar wie das bei relativ einfachen Folgen wie 2^n oder Ähnliches funktioniert. Allerdings scheitere ich bei komplexeren Aufgaben.

Problem/Ansatz:

1) Beispielsweise bei an= (3n^2+2n+1)/(4n^3+3n^2+1) für n größer gleich 1.

2) oder bei (2n^3+1)/(3n^5+1)

Wie löst man diese Aufgabe ohne Ungleichung? Ich wäre sehr dankbar für einen Ansatz.

Answer 1

1) an = (3n^2 + 2n + 1) / (4n^3 + 3n^2 + 1)

Hat diese Folge einen Grenzwert für n gegen unendlich und wenn ja welchen?

2) an = (2n^3 + 1) / (3n^5 + 1)

Hat diese Folge einen Grenzwert für n gegen unendlich und wenn ja welchen?

Comments

Und wenn das zutrifft? Wie leite ich daraus den Wert für die Beschränktheit ab?

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Jede Zahlenfolge, die gegen einen Grenzwert läuft ist beschränkt.

Wenn deine beiden Zahlenfolgen also gegen unendlich den Grenzwert Null haben denn muss sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt sein.

Da Zähler und Nenner jeweils größer 0 sind, ist daher 0 sicher eine untere Schranke.

Answer 2

Mit dem Satz von l´Hospital:

\(an=   \frac{ 3n^2+2n+1 }{ 4n^3+3n^2+1} \)

\(an=  \frac{ 6n+2 }{ 12n^2+6n} \)

 \(an=  \frac{ 6 }{ 24n+6}= \frac{ 1 }{ 4n+1} \)

\( \lim\limits_{n\to\infty} \frac{ 1 }{ 4n+1}=0\)

                                          

Comments

Zahlenfolgen kann man neuerdings ableiten?

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Vielen Dank! Aber den Satz haben wir nich gar nicht besprochen :|

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Zahlenfolgen kann man neuerdings ableiten?

Wolfram Alpha liefert:

Jetzt kann doch schon gesagt werden, dass die einzelnen Folgeglieder immer kleiner werden und im Grenzfall ∞ zu 0 werden.

Answer 3

1. Kürze mit n^3

2. Kürze mit n^5

Beide sind Nullfolgen.