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Aufgabe:

Die Flugbahn einer Kugel kann annähernd durch
eine quadratische Funktion beschrieben werden
y=b1+b2-2+b3-2?
wobei a die zurückgelegten Meter der Kugel, y die
Höhe der Kugel in Metern, und b1, b2, b3 die
Parameter der Kugel bezeichnen.
Es liegen folgende vier empirische Messungen vor:

xi6101621
yi118174206211


a. Ermitteln Sie den Parameter b der Flugbahn.
b. Ermitteln Sie den Parameter b, der Flugbahn.
c. Ermitteln Sie den Parameter b der Flugbahn.
d. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach 35
Metern?
e. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf?


Problem/Ansatz:

Ich bin leider echt aufgeschmissen. Könnte mir jemand die Aufgabe vorrechnen? Ich komme auch nicht mit den anderen Fragen/Beispielen weiter und bin echt den Tränen nahe.

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2 Antworten

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Schau mal unter https://www.mathelounge.de/976795

und gib dann evtl. mal einen Lösungsvorschlag.

Wenn du irgendwo konkrete Probleme hast melde dich gerne nochmals.

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Aloha :)

Setze die 4 Messpunkte \((x_i|y_i)\) in die Modellgleichung \(y=b_1+b_2x+b_3x^2\) ein und erhalte folgendes lineare Gleichungssystem:$$\begin{array}{r|rrr|c}x_i & b_1 & b_2 & b_3 & y_i\\\hline6 & 1 & 6 & 36 & 118\\10 & 1 & 10 & 100 & 174\\16 & 1 & 16 & 256 & 206\\21 & 1 & 21 & 441 & 211\end{array}\quad\implies\quad\left(\begin{array}{rrr}1 & 6 & 36\\1 & 10 & 100\\1 & 16 & 256\\1 & 21 & 441\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}118\\174\\206\\211\end{pmatrix}$$

Da wir mehr Gleichung als Parameter haben, ist dieses Gleichungssystem im Allgemeinden nicht exakt lösbar. Wir können jedoch eine optimale Lösung in dem Sinn angeben, dass die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird.$$\sum\limits_{i=1}^4\left(y(x_i)-y_i\right)^2\to\text{Minimum}$$

Dazu brauchst du nur beide Seiten der Matrix-Gleichung von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix zu multiplizieren:$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\6 & 10 & 16 & 21\\36 & 100 & 256 & 441\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 6 & 36\\1 & 10 & 100\\1 & 16 & 256\\1 & 21 & 441\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\6 & 10 & 16 & 21\\36 & 100 & 256 & 441\end{array}\right)\begin{pmatrix}118\\174\\206\\211\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}4 & 53 & 833\\53 & 833 & 14573\\833 & 14573 & 271313\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}709\\10175\\167435\end{array}\right)$$und das so entstandene Gleichungssystem zu lösen:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}8,683153\\22,090675\\-0,596084\end{pmatrix}$$

Die Genauigkeit habe ich bewusst viel zu hoch gewählt. Pyhsikalisch macht es keinen Sinn, mit so vielen Nachkommastellen zu rechnen. Da deine Ergebnisse jedoch elektronisch überprüft werden und daher in ein bestimmtes Intervall passen sollen, rechnen wir lieber mit zu vielen als zu wenig Stellen.

Die Flughöhe nach \(x=35\) Metern beträgt \(51,65\) Meter

Der Auftreffpunkt liegt bei der Nullstelle \(x=37,45\) Meter.

~plot~ 8,683+22,09*x-0,5961*x^2 ; {6|118} ; {10|174} ; {16|206} ; {21|211} ; {35|51,64} ; [[0|40|0|220]] ~plot~

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Vielen dank!!

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