Aloha :)
Setze die 4 Messpunkte \((x_i|y_i)\) in die Modellgleichung \(y=b_1+b_2x+b_3x^2\) ein und erhalte folgendes lineare Gleichungssystem:$$\begin{array}{r|rrr|c}x_i & b_1 & b_2 & b_3 & y_i\\\hline6 & 1 & 6 & 36 & 118\\10 & 1 & 10 & 100 & 174\\16 & 1 & 16 & 256 & 206\\21 & 1 & 21 & 441 & 211\end{array}\quad\implies\quad\left(\begin{array}{rrr}1 & 6 & 36\\1 & 10 & 100\\1 & 16 & 256\\1 & 21 & 441\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}118\\174\\206\\211\end{pmatrix}$$
Da wir mehr Gleichung als Parameter haben, ist dieses Gleichungssystem im Allgemeinden nicht exakt lösbar. Wir können jedoch eine optimale Lösung in dem Sinn angeben, dass die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird.$$\sum\limits_{i=1}^4\left(y(x_i)-y_i\right)^2\to\text{Minimum}$$
Dazu brauchst du nur beide Seiten der Matrix-Gleichung von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix zu multiplizieren:$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\6 & 10 & 16 & 21\\36 & 100 & 256 & 441\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 6 & 36\\1 & 10 & 100\\1 & 16 & 256\\1 & 21 & 441\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\6 & 10 & 16 & 21\\36 & 100 & 256 & 441\end{array}\right)\begin{pmatrix}118\\174\\206\\211\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}4 & 53 & 833\\53 & 833 & 14573\\833 & 14573 & 271313\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}709\\10175\\167435\end{array}\right)$$und das so entstandene Gleichungssystem zu lösen:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}8,683153\\22,090675\\-0,596084\end{pmatrix}$$
Die Genauigkeit habe ich bewusst viel zu hoch gewählt. Pyhsikalisch macht es keinen Sinn, mit so vielen Nachkommastellen zu rechnen. Da deine Ergebnisse jedoch elektronisch überprüft werden und daher in ein bestimmtes Intervall passen sollen, rechnen wir lieber mit zu vielen als zu wenig Stellen.
Die Flughöhe nach \(x=35\) Metern beträgt \(51,65\) Meter
Der Auftreffpunkt liegt bei der Nullstelle \(x=37,45\) Meter.
~plot~ 8,683+22,09*x-0,5961*x^2 ; {6|118} ; {10|174} ; {16|206} ; {21|211} ; {35|51,64} ; [[0|40|0|220]] ~plot~
