Komplexe Gleichung mit Einheitskreis

Question

Aufgabe:

Sei a∈ℝ. Beweisen Sie: Die Gleichung z² + 2az +1 = 0 in C

hat genau dann keine reellen Lösungen, wenn |a| < 1. In diesem Fall ist die Gleichung zwei konjugierende komplexe Lösungen, die auf dem Einheiskreis {z ∈ C : |z| = 1} liegen.

Problem/Ansatz:

Ich gehe davon aus, dass man hier z = a+bi einsetzen muss. Dann halt zwei verschiedene gleichungen bilden, wo man bei der einen b bestimmt und bei der anderen einsetzt, um a zu bestimmen. Wie mache ich dann das mit dem Einheitskreis bzw. was wäre die Lösung?

Answer 1

Hallo,

mit pq-Formel erhaltst du

z²+2az+1=0

z1 = -a + √(a²-1)

z2 = -a - √(a²-1)

Wenn |a| < 1 gilt, ist a² - 1 < 0.

...

:-)

Answer 2

Ich gehe davon aus, dass man hier z = a+bi einsetzen muss.

Muss man nicht.
Darf man hier auch auf keinen Fall, weil a dann eine widersprüchliche Doppelbedeutung (Realteil der komplexen Lösung und gleichzeitig Parameter in der quadratischen Gleichung) hätte.

Fange an, die Gleichung "ganz normal" mit pq-Formel zu lösen. Der Rest ergibt sich von selbst.