Bestimmen Sie mi Hilfe der Methode der Variation der Konstanten die Lösungen der folgenden Differentialgleichungen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben das folgende Anfangswertproblem
\( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}-y=f(t), \quad y(0)=-1 \)
Bestimmen Sie mi Hilfe der Methode der Variation der Konstanten die Lösungen der folgenden Differentialgleichungen
1. Die homogene Lösung des Anfangswertproblems
\( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}-y=0, \quad y(0)=-1 \)
\( y(t)= \)
2. Die Lösung des Anfangswertproblems für \( f(t)=t^{3}+3 t \)
\( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}-y=t^{3}+3 t, \quad y(0)=-1 \)
\( y(t)= \)
3. Die Lösung des Anfangswertproblems für \( f(t)=\cos (2 t) \)
\( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}-y=\cos (2 t), \quad y(0)=-1 \)
\( y(t)= \)

Problem/Ansatz:

Hallo, könnte mir hier jemand weiterhelfen?

Answer 1

Hallo,

1)

dy/dt -y=0 ,  | +y   y(0)=-1

dy/dt =y | *dt : y

∫dy/y=∫dt

ln|y|= t+c     |  e hoch

|y| = e^(t+c) =e^t *e^c

y = e^t *   ± e^c     ; ± e^c =C1

y=C1 *e^t

AWB :y(0)=-1

y=C1 *e^t

-1= C1 *e^0 ; e^0=1

C1=-1

->Lösung:

y= -e^t

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