Lineare Abbildungen und Polynomen

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, und sei p = ∑^m_j=0  c_jx^j  ∈ Pol_K ein (fest vorgegebenes) Polynom. Untersuchen Sie, ob die folgende Abbildung linear ist:

Pol_K → Pol_{k ,} q = \( \sum\limits_{k=0}^{\ n}{ } \) a_kX^k → q(p) := \( \sum\limits_{k=0}^{\ n}{ } \) a_k ( \( \sum\limits_{j=0}^{\ m}{ } \) c_jX^j )^k .

Problem/Ansatz:

Ich stecke hier einfach fest.....

Answer 1

Die Abbildung, ich nenne sie mal f, läuft ja so, dass in das

abzubildende Polynom q für jedes vorkommende x das Polynom p

eingesetzt wird.

Wenn du nun q₁ + q₂ abbilden willst ,  dann ergänze mal bei dem mit dem

eventuell kleineren Grad (Das sei etwa m.) so viele Summanden der Form

\(   a_k x^k \)  dass beide Summen gleich lang sind, dann hast du

\( q_1(x)=  \sum\limits_{k=0}^n a_kx^{k} \) und   \( q_2(x)=  \sum\limits_{k=0}^n b_kx^{k}\)

und für die Summe   \( (q_1+q_2)(x)=\sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)x^{k} \)

Dann ist \( f(q_1+q_2) = \sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)p^{k}\)

\(= \sum\limits_{k=0}^na_kp^{k}+ \sum\limits_{k=0}^nb_kp^{k} =f(q_1)+f(q_2)\)

Also ist die Abbildung additiv, homogen geht entsprechend.

Comments

Wow, danke danke nochmal danke  Sie nehmen sich sehr viel Zeit dafür. Ich weiß es echt zu schätzen