Lineare Abbildungen mit polynomen

Question

hey Leute ich hoffe ihr könnt mir helfen beim Ansatz oder mir beim Lösungsweg helfen.

1) f₁ : ℝ[x] → ℝ[x], p → p(1) mit ℝ[x] als Vektorraum der Polynome mit reellen  Koeffizienten

2) f₂  : { p = a₀ + ... + a₃ x³ : a_i ∈ ℝ } → { p = a₀ + ...+ a₅ x⁵ : a_i ∈ ℝ }, p(x) → (x² -3x +2) * p(x)

3) f₃ : { f: ℝ →ℝ : f`´´ + f =0 } → { f: ℝ → ℝ : f´´ + f =0}, f → f´

gruß

Comments

Verrätst du uns noch die Aufgabe?

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überprüfe ob die folgenden Abbildungen linear sind.

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Kennst du die Definition einer linearen Abbildung? Diese Eigenschaften musst du hier überprüfen.

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ja ich kenn die Definition einer linearen Abbildung aber mit den Polynomen kapier ich des einfach nicht.

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Fangen wir mal mit \(f_1\) an. Wir müssen überprüfen, ob \(f_1(p+q)=f_1(p)+f_1(q)\) gilt für alle Polynome \(p,q\in\mathbb{R}[X]\). Wenn wir jetzt die Funktionsvorschrift von \(f_1\) einsetzen, sieht diese Gleichung so aus: \((p+q)(1)=p(1)+q(1)\). Ist diese Gleichung für alle Polynome wahr?

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also ich würde ja sagen

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Und warum? :-)

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weil wir ja gezeigt haben das f₁ (p + q) = f ( p(1)) +f(q(1)) ist weil des war ja die die Bedingung das p → p(1) wird oder denk ich da falsch.

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Wie kommst du auf die Gleichung f₁ (p + q) = f ( p(1)) +f(q(1)) ?
\((p+q)(x)\) ist doch gerade definiert als \(p(x)+q(x)\). Und damit haben wir die Gleichung gezeigt. Mehr ist das nicht. ;-)

Jetzt kannst du die Homogenität, d.h. \(f_1(a\cdot p)=a\cdot f_1(p)\) für alle \(p\in\mathbb{R}[X], a\in\mathbb{R}\), zeigen oder widerlegen.

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okay dann hab ich falsch gedacht :)

okay also ich hab des so geschrieben das f(a*p) = (a*p(1)) = a * (p(1)) = a * f ( p)  also ist es linear.. stimmt das so?

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Ja..........

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okay gut :)

kannst du mir noch bei 2 und 3 helfen ? bitte :)

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Probier's doch erstmal selbst. Wenn du irgendwo Probleme hast, kannst du gern nochmal nachfragen. :-)

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ohje ich mach die aufgabe schon lange und auf eine richtig logische Lösung bin ich nicht gekommen.

kannst du nicht die Lösung hinschreiben weil dann würd ich den Lösungsweg selbst nachrechnen..

PS: ich würde die Lösung nicht nur abschreiben, sondern auch probieren es bis zur Lösung zu schaffen weil Lösung ohne Lösungsweg ist nutzlos :D

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Die Aufgabe ist nicht so kompliziert, das schaffst du auch.

Bei 2) müssen wir überprüfen, ob \(f_2(p+q)=f_2(p)+f_2(q)\), d.h. ob \((x^2-3x+2)\cdot (p+q)(x)=(x^2-3x+2)\cdot p(x)+(x^2-3x+2)\cdot q(x)\) für alle \(p,q\in D(f_2)\) gilt (\(D(f_2)\) ist der Definitionsbereich, der oben in der Aufgabe steht).
Was würdest du sagen: Ist das so?

Ich bin jetzt erstmal weg, morgen kann ich mir das dann nochmal anschauen (vielleicht fällt dir bis dahin doch noch was ein, das kannst du ja dann hier posten).

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Genauso ist ein Studium ohne das Erlernen von Transferleistung nutzlos. Wenn sich schon jemand mit Kompetenz anbietet dir bei deinen eigenen Ansätzen zu helfen solltest du das nutzen, Oft lernt man selber auch viel daraus wenn man seine eigenen Überlegungen aufschreibt um sie jemand anderem verständlich zu machen.

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@10001000nick1 also ich hab das es wahr ist und das es linear ist.

Answer 1

f₂  : { p = a₀ + ... + a₃ x³ : a_i ∈ ℝ } →
                  { p = a₀ + ...+ a₅ x⁵ : a_i ∈ ℝ }, p(x) → (x² -3x +2) * p(x)
Bei 2) muss vielleicht erst mal geklärt werden, ob f2 "wohldefiniert" ist, also ob durch die angegebene
Abbildungsvorschrift wirklich jedem f aus dem Def-Bereich ein f2(p) aus dem angegeben Zielbereich
zugeordnet wird. Dem ist so, weil ein Polynom vom Grad <=3 durch Multiplik. mit dem Poly. vom Grad 2
wirklich immer etwas mit Grad <=5 zugeordnet wird.
Dann kommen die Linearitätseigenschaften. Da hast du doch schpn den
Hinweis, was zu prüfen ist:
f2(p+q)(x) = (f2(p)+f2(q))(x) für alle x aus IR.
Fang doch mal an:

f2(p+q)(x)= nach Def. von f2 (x² -3x +2) *( p(x)+q(x)) =
(x² -3x +2) * p(x)+(x^2-3x+2)*q(x)=

f2(p)(x)+f2(q)(x)= (f2(p)+f2(q))(x)

Comments

ist wahr  ^^ und jetzt muss ich ja noch des andere prüfen und des ist ja dann ja

f( a* p(x)) = f ( a* ( x² -3x + 2) * a* p(x)) = ( ax² -3x+2 * ap(x)) = a( x² -3x+2 * p(x)) = a*p(x) = a * f(p(x))

stimmt des so?

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nicht ganz,

f( a* p(x)) = f ( a* ( x² -3x + 2) * a* p(x))

Das rote a ist zuviel !

Dann Reihenfolge ändern

= a* ( x² -3x+2) * p(x)

und das grüne ist doch f(p(x))

=  a * f(p(x))

stimmt des so?  Jetzt ja !

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f( a* p(x)) = f ( a* ( x² -3x + 2) * a* p(x))

Das rote a ist zuviel !

Nicht nur das a. Auch das grüne gehört da nicht hin.

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stimmt da hast du recht :)

muss ich bei meiner 3) ableiten??

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f₃ : { f: ℝ →ℝ : f`´´ + f =0 } → { f: ℝ → ℝ : f´´ + f =0}, f → f´

Du sollst also jeder Funktion ihre Ableitung zuordnen.
Für die Linearität ist also zu prüfen
ist die Abl. von f+g das gleiche wie   f ' + g '
und ist die Abl. von c*f das gleiche wie    c * f '  .

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also ich hab raus das es nicht linear ist. stimmt des ?

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was wird denn nicht erfüllt ?

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also ich hab das die Abl. von f+g nicht das gleiche ist wie f´ + g´ ist. also ist es dann nicht linear

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aber das ist doch eine der Grundregeln beim Ableiten, dass z.B. bei

x^3  +   x^5

die Ableitung

3x^2 + 5x^4

ist, also jeder Summand einzeln abgeleitet

wird. Allgemein heißt das doch

Abl. von f+g ist f ' + g '.

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ja natürlich du hast recht.... ich hab was falsches gedacht weil ich hab des f" + f = 0 in der anderen Klammer beachtet aber die brauch ich ja nicht.

dann ist dann f(a* f) = (a* f´ ) = a * f´ = a* f(f´)

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dann ist dann f(a* f) = (a* f´ ) = a * f´ = a* f(f´)

du meinst wahrscheinlich:

ableitung von a*f also so  (a*f) '

gleich a * f '

Das ist auch eine der grundlegenden Regeln beim Ableiten,

zum Beispiel

Abl. von 17*x^4  ist ja auch 14* 4x^3

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Ist \(f_3\) überhaupt wohldefiniert? Z.B. ist die Funktion \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto e^{-x}\) im Definitionsbereich von \(f_3\), die Ableitung \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto -e^{-x}\) liegt aber nicht im Wertebereich.

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also ich hab die Aufgabe so abgeschrieben, wie sie auch aufm dem Übungsblatt ist^^

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also ist es nicht linear