Dreieck mit Funktionen bestimmen

Question

Aufgabe:

fa(x)= x² × e^-a×x

Im folgenden sei a=0,2 und f0,2 sei die Funktion

1)

für jeden Wert von b mit 0≤b≤100 sind die Punkte A(0|0) und B(b|0) sowie der Punkt C gegeben. C hat die x-koordinate b und liegt auf dem Graphen f0,2.
bestimmen sie denjenigen Wert von b, für den der Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal ist, und geben sie den zugehörigen Flächeninhalt an den.

Wie kann man den Wert von b anhand der Punkte berechnen ?

Answer 1

Ich vermute folgende Schreibweise der Funktion: f_a(x)= x² · e^-a·x , Dann ist das größtmögliche Dreieck dieser Art zu bestimmen: Nullstelle der ersten Ableitung von g(b)= b·f_0,2(b) ist b=15.

Answer 2

fa(x) = x^2·e^(- a·x)

Die Fläche des Dreiecks berechnet sich aus

A(b) = 1/2·b·fa(b) = 1/2·b^3·e^(- a·b)

Davon sollst du dann den Hochpunkt bestimmen. Wie das gemacht wird ist eigentlich klar oder?

Answer 3

\(fa(x)= x^2 * e^{-a*x}\)     mit  \(a=0,2\)

\(f(x)= x^2 * e^{-0,2*x}\)

Siehe unten die Zeichnung

 \(A(b)= \frac{b*(b^2*e^{-0,2b})}{2} \) soll maximal werden.

\(A(b)= \frac{b^3*e^{-0,2b}}{2} \)

\(A´(b)= \frac{3b^2*e^{-0,2b}+b^3*e^{-0,2b}*(-0,2)}{2} \)

\(A´(b)= \frac{3b^2*e^{-0,2b}-0,2*b^3*e^{-0,2b}}{2} \)

\(\frac{3b^2*e^{-0,2b}-0,2*b^3*e^{-0,2b}}{2}=0 \)

\(3b^2*e^{-0,2b}-0,2*b^3*e^{-0,2b}=0 \)

\(e^{-0,2b}*( 3b^2-0,2*b^3)=0 \)

\(e^{-0,2b}≠0 \)

\(3b^2-0,2*b^3=0 \)

\(b^2*(3-0,2*b)=0 \)

\(b=0 \) kommt nicht in Betracht

\(3-0,2*b=0 \)    \(b=15 \)

Beachte bitte bei der Hypotenuse das b nicht.