Analysis: f(x) = 5x*e^{-2x} gegeben. Fläche von Dreieck Ursprung O, Punkt A(a/0) und P(a/f(a) maximieren.

Question

Wunderschönen Freunde der Mathematik! :)

Hab hier 2 Aufgaben für Euch:

1)
Gegeben ist die Funktion f(x) = √x ; Ein Punkt Q (a/0) ist gegeben,wobei a ≥ 0,5 ist.
Und man soll den Punkt vom Graphen f bestimmen, von wo der Punkt Q den kleinsten Abstand besitzt.

2)
Diesmal ist eine Funktion f mit f(x) = 5x * e^-2x gegeben.
Durch den Ursprung O, einen Punkt A(a/0) und P(a/f(a)) wird ein Dreieck bestimmt. Berechnet den maximalen Inhalt, den ein solches Dreieck annehmen kann.

Comments

"Hab hier 2 Aufgaben für euch"

Zu nett von dir vielen vielen Dank!

Hast du denn auch Fragen zu den Aufgaben oder wolltest du uns die nur mitteilen?

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@yakyu
Es sind doch Fragen angegeben.

Answer 1

Diesmal ist eine Funktion f mit f(x) = 5x * e^-2x gegeben. 
Durch den Ursprung O, einen Punkt A(a/0) und P(a/f(a)) wird ein Dreieck bestimmt. Berechnet den maximalen Inhalt, den ein solches Dreieck annehmen kann.

Fläche, die zu maximieren ist, in Abhängigkeit von a:

F(a) = a*f(a)/2 = a*5a * e^{-2a}/2 = 5a^2 e^{-2a}/2

EDIT: (wurde gerade überarbeitet)

F ' (a) = 10a * e^{-2a}/2 + 5a^2 * e^{-2a}/2 *(-2)

= (10a -10a^2)*e^{-2a}/2 

= 10a(1 - a)*e^{-2a}/2     | Null setzen.

10a(1 - a)*e^{-2a}/2 = 0

a1 = 0    ------> dürfte eher ein Minimum als ein Maximum an Fläche geben.

a2 = 1  -------> könnte ein lokales Maximum für die Fläche geben.

F(a) = a*f(a)/2 = a*5a * e^{-2a}/2 = 5a^2 e^{-2a}/2

F(1) = 5*e^{-2} / 2 = 2.5 / e^2 

Rechne das mal nach und korrigiere, so weit nötig.

Nochmals: In welchem Bereich darf den a liegen?

Wenn a ---> -∞ dürfte die Fläche noch grösser werden. Allfällige neg. Resultate bei F(a)? Nimm einfach den Betrag des Resultats, wenn nichts weiter über a bekannt ist.

Answer 2

Bei Aufgabe 2.) ist a =1 und die Fläche des Dreiecks 0.338.
Es ist allerdings ein Maximum.
Vergleiche die andere Antwort.

mfg