Erwartungswert spielrad

Question

beim glücksrad belegt fläche a die hälfte und man hat einen verlust von 1 euro. bei b erhält man seinen Einsatz von einem euro  zurück und bei c bekommt man 4 euro.

wie groß darf der Winkel gamma also (Fläche von C) höchstens gewählt werden, damit der Spielbudenbetreiber auf lange sicht keinen verlust macht ? Begründe deine Antwort.

ich weiß nur, dass der erwartungswert = n*p ist und das spiel ist dann fair wenn der erwartungswert= 0 ist,

ABER hier soll es nicht 0 sein, sondern unfair für die spieler, damit der betreiber gewinn macht auf lange sicht
wie muss dann der erwartungswert sein? bitte mit erklärung mir geht es nicht nur  um die Lösung.

Answer 1

Eine Kleinigkeit vorweg:

ABER hier soll es nicht 0 sein, sondern unfair für die spieler, damit der betreiber gewinn macht auf lange sicht

Lies richtig! Gefordert ist nicht, dass der Betreiber Gewinn macht, sondern dass er keinen Verlust macht. Für den Erwartungswert E des Spieles aus Sicht des Betreibers muss also gelten:

E ≥ 0

Der Erwartungswert für den Betreiber ist:

E
= P ( X = a ) * (Einnahme - Auszahlung ( a ) )
+ P ( X = b )  * (Einnahme - Auszahlung ( b ) ) 
+ P ( X = c )  * (Einnahme - Auszahlung ( c ) )

= 0,5 * ( 1 - 0 ) +  x * ( 1 - 1 ) + ( 0,5 - x )  * ( - 3 )

= 0,5 + 0 - 1,5 + 3 x 

= 3 x - 1

Es soll gelten:

E ≥ 0

also:

<=> 3 x - 1 ≥ 0

<=> 3 x ≥ 1

<=> x ≥ ( 1 / 3 )

Die Wahrscheinlichkeit x für das Ereignis P ( X = b ) muss also mindestens ( 1 / 3 ) betragen, somit muss der Winkel für das Feld b mindestens 360 ° * ( 1 / 3 ) = 120 ° groß sein und das bedeutet, dass der WInkel für das Feld c höchstens 360 ° - 180 ° - 120 ° = 60 ° groß sein darf.

Comments

in der lösung steht, es komme 45 grad raus, also muss bei dir irgendwas falsch sein
aber da ist keine rechnung da steht nur : Die wahrscheinlichkeit für feld c darf höchstens 1/4 der wahrscheinlichkeit für feld a betragen. Also 45 grad
soll man das etwa ohne rechnung lösen ? bzw. kann man das ?

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also muss bei dir irgendwas falsch sein

Oder bei der Lösung ... :-)

Ich kann in meiner Rechnung keinen Fehler entdecken. Vielleicht hat der Autor der Lösung den gleichen Fehler gemacht, wie Der_ Mathecoach (siehe Kommentare zu seiner Antwort ).

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eine kleine sache noch ..ich muss wissen, ob ich die Formel brauche, um die aufgabe zu lösen.

oder geht es auch mit Logik

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Einen Durchschnitt kann man auch in der 8. Klasse schon berechnen. Erwartungswert ist ja nichts anderes als der theoretische Durchschnitt.

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oder geht es auch mit Logik

Es geht auch mit Logik:

Bei Feld A macht der Betreiber einen Gewinn von 1 Euro, bei Feld B einen Gewinn / Verlust von 0 Euro (dieses Feld ist also irrelevant) und bei Feld C einen Verlust von 4 Euro. Damit er nun auf lange Sicht keinen Verlust macht, muss jedes Auftreten von Feld C durch mindestens 4-maliges Auftreten von Feld A ausgeglichen werden. Also muss Feld A mindestens 4 mal so oft auftreten wie Feld C - und das ist genau dann der Fall, wenn der Winkel von Feld C höchstens 1/4 des Winkels von Feld A beträgt, also höchstens 45 ° groß ist.

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Danke, so sollte man es nämlich lösen.

Das mit den Angaben tut mir leid, meine Lehrerin meinte schon ich solle bei den Formulierungen besser werden...und aufmerksamer lesen...hast du einpaar Tipps wie man das verbessern kann ?

Answer 2

beim glücksrad belegt fläche a die hälfte und man hat einen verlust von 1 euro. bei b erhält man seinen Einsatz von einem euro  zurück und bei c bekommt man 4 euro.

wie groß darf der Winkel gamma also (Fläche von C) höchstens gewählt werden, damit der Spielbudenbetreiber auf lange sicht keinen verlust macht ? Begründe deine Antwort.

 

Erwartungswert aus Sicht des Spielers

E = 0.5 * -1 + Gamma/360 * 3 >= 0

Gamma ≥ 60

Gamma darf also höchstens 60 Grad betragen.

Comments

könnt man das auch ohne rechnung durch logisches denken lösen ? , denn den erwartungswert hat man nicht in der 8 klasse und uns wurde die rechnung nicht beigebracht also soll man es durch Logik lösen
aber wie ?

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+ Gamma/360 * 4 >= 0

Hier unterschlägst du aber, dass der Spieler immer auch 1 Euro Einsatz zahlen muss. Der Gewinn (Auszahlung-Einsatz) beträgt also nur 3 Euro, nicht 4 Euro.

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Ja. Da hast du völlig recht.

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ich schicke euch mal einen link zur aufgabe . www.mathematik-wettbewerb.de/PDF/mw0809_2r.pdf

aufgabe 7!!!!!!

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Tja, da steht aber, dass man bei Feld C ZUSÄTZLICH ZU SEINEM EINSATZ 4 Euro ausgezahlt bekommt. Die Auszahlung beträgt also 5 Euro!

Du aber hast in deiner Frage geschrieben, dass man 4 Euro ausgezahlt bekommt. Und genau DAS ist der Unterschied!

Wenn man 4 Euro ausgezahlt bekommt, also so wie du es in deiner Frage geschrieben hast, dann ist meine Antwort richtig. Dann darf Feld C höchstens einen Winkel von 60 ° aufweisen.

Wenn man aber, wie es in der Aufgabe geschrieben steht, 5 Euro ausgezahlt bekommt ( Einsatz zurück + zusätzliche 4 Euro), dann darf der Winkel für Feld C tatsächlich nur 45 ° sein.

Und so kommt es hier zu der tragisch-komischen Situation, dass Der_Mathecoach, obwohl er einen Fehler gemacht hat, doch zum richtigen Ergebnis kam, weil sein Fehler den deinen gerade ausgeglichen hat :-)
Ich aber, der ich richtig gerechnet habe, liege daneben : -)

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Ich hatte also Anfangs schon richtig gerechnet.

Erwartungswert aus Sicht des Spielers

E = 0.5 * -1 + Gamma/360 * 4 >= 0

Gamma ≥ 45

Gamma darf also höchstens 45 Grad betragen.