Dreieckeim Bereich der komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Wir nennen zwei Dreiecke ABC und A′B′C′ gleichorientiert ähnlich, wenn die Eckpunkte A, B, C und A′, B′, C′ den gleichen Umlaufsinn haben und wenn die entsprechenden Innenwinkel übereinstimmen (also der Winkel bei A ist gleich dem Winkel bei A′ usw).
Man zeige: Sind ALT, ARM, ORT, ULM vier gleichorientiert ähnliche Dreiecke der Ebene, (wobei A, L, M, R, T, O, U paarweise verschiedene Punkte sind), dann ist A der Mittelpunkt der Strecke OU.
Hinweis: Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen entspricht einer Drehstreckung, da die Beträge der beiden komplexen Zahlen multipliziert werden und die Winkel zwischen der positiven reellen Achse und den Zahlen addiert werden.

Comments

Mit dem Drehstreckfaktor z gilt für die vier Dreiecke

AT = z·AL  ⇔  T-A = z·(L-A)  ⇔  T = Lz-Az+A
AM = z·AR  ⇔  M-A = z·(R-A)  ⇔  M = Rz-Az+A
OT =z·OR  ⇔  T-O = z·(R-O)  ⇔  T = Rz-Oz+O
UM = z·UL ⇔  M-U = z·(L-U)  ⇔  M = Lz-Uz+U

Daraus folgt Rz-Lz =  A - Az + Oz - O =  Az - A - Uz + U
und weiter Oz - O + Uz - U =  2·(Az - A) , also (U+O)·(z-1) = 2A·(z-1)