Lass uns \(x\in \mathbb{R}\) schreiben als \((x_1,x_2)\). Dann gilt per Definition:
$$||x||_{\infty} = \max(|x_1|,|x_2|) \text{ und } ||x||_1 = |x_1|+|x_2|$$
Passende Abschätzungen, die immer gelten, sind: $$\max(|x_1|,|x_2|) \leq |x_1|+|x_2| \leq 2\cdot \max(|x_1|,|x_2|)$$Damit sind \(c_1 = 1\) und \(c_2 = 2\) Kandidaten für die gesuchten Konstanten. Wir müssen nur noch Fälle finden, für die Gleichheit in der linken bzw. rechten Ungleichung gilt.
\((c_1):\: e = (1,0)\) erfüllt \(||e||_{\infty} = ||e||_1\)
\((c_2):\: f= (1,1)\) erfüllt \(||f||_1 = 2||f||_{\infty} \)
Damit sind \(c_1 = 1\) und \(c_2 = 2\) optimale Konstanten.