Optimale Konstante bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie optimale Konstanten c1, c2 für die Abschätzung
und begründen Sie die Optimalität.

Problem/Ansatz: Bräuchte Hilfe:)

Text erkannt:

brechende Stammfunktion dürfen Sie hier
Constanten \( c_{1}, c_{2} \) für die Abschätzung
\( c_{1}\|x\|_{\infty} \leq\|x\|_{1} \leq c_{2}\|x\|_{\infty}, \quad x \in \mathbb{R}^{2} \)

Comments

Unvollständige Aufgabe.

lul

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Was fehlt denn?

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Hallo @Arsinoe4

offensichtlich bin ich zu dumm, zu sehen was da abgeschätzt werden soll. wenn du es weisst, eben dumm für mich.

lul

Answer 1

Lass uns \(x\in \mathbb{R}\) schreiben als \((x_1,x_2)\). Dann gilt per Definition:

$$||x||_{\infty} = \max(|x_1|,|x_2|) \text{ und } ||x||_1 = |x_1|+|x_2|$$

Passende Abschätzungen, die immer gelten, sind: $$\max(|x_1|,|x_2|) \leq |x_1|+|x_2| \leq 2\cdot \max(|x_1|,|x_2|)$$Damit sind \(c_1 = 1\) und \(c_2 = 2\)  Kandidaten für die gesuchten Konstanten. Wir müssen nur noch Fälle finden, für die Gleichheit in der linken bzw. rechten Ungleichung gilt.

\((c_1):\: e = (1,0)\) erfüllt \(||e||_{\infty} = ||e||_1\)

\((c_2):\: f= (1,1)\) erfüllt \(||f||_1 = 2||f||_{\infty} \)

Damit sind \(c_1 = 1\) und \(c_2 = 2\) optimale Konstanten.