Taylorpolynom der 6. Ordnung f(x) = 1-cos(x)/x^2 → Hinweis:

Question

Aufgabe: Taylorpolynom

Unter Verwendung bekannter Taylorpolynom berechne man das Taylorpolynom T_n(x) vom Grad n mit dem Entwicklungsgrad x₀ für

f(x) = \( \frac{1-cos(x)}{x^{2}} \), n = 6, x0 = 0

Hinweis: Verwende man das entsprechende Polynom für die Funktion cos(x), bilde den Ausdruck 1-cos(x) und dividiere diesen dann durch \( x^{2} \).

Problem/Ansatz:

Ansatz:

Taylorpolynom von cos(x) habe ich bereits gebildet

Problem:

Ich versteh die weitere Vorgehensweise nicht, was muss ich dann machen wenn ich das Polynom von cos(x) habe?

Was muss ich mit dem Ausdruck: 1-cos(x) machen und mit dem dividieren durch \( x^{2} \)

Lg Flo :)

Answer 1

Vermutlich ist es etwa folgendermaßen gemeint:$$\begin{aligned}f(x)&=\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1-\big(1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4-\frac1{720}x^6+\frac1{40320}x^8+O(x^{10})\big)}{x^2}\\&=\frac{\frac12x^2-\frac1{24}x^4+\frac1{720}x^6-\frac1{40320}x^8+O(x^{10})}{x^2}\\&=\frac12-\frac1{24}x^2+\frac1{720}x^4-\frac1{40320}x^6+O(x^8).\end{aligned}$$

Comments

Aber ist der das Taylorpolynom 6. Grades von cos(x) nicht nur:

T_n(x)=1-\( \frac{x^{2}}{2!} \)+\( \frac{x^{4}}{4!} \)-\( \frac{x^{6}}{6!} \)

Dann einfach den Ausdruck bilden so wie du es gemacht hast, also einfach das Taylorpolynom in die Funktion einsetzen und ausrechnen?

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Um das Taylorpolynom 6. Grades von \(f\) zu bestimmen, solltest du mit dem Taylorpolynom 8. Grades des Kosinus beginnen. Das verbietet die Aufgabenstellung nicht. Ansonsten ist es tatsächlich nur einsetzen und ausrechnen.

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Achso okay, Dankeschön!

Ich werde einfach mal deine und meine Variante abschreiben. Gegebenenfalls werde ich meinen Professor dazu befragen.

Dankeschön!

Nur noch eine Frage:

Warum müsste ich das mit dem Taylorpolynom 8. Grades beginnen?

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Weil am Schluss der Rechnung durch \(x^2\) dividiert wird. Etwas unmathematisch ausgedrückt gehen dadurch zwei Grade verloren und es bleibt ein Taylorpolynom 6. Grades übrig.

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Ich verstehe, Dankeschön!

Ich werde einmal beide Varianten aufschreiben.

Vielen Dank für deine Hilfe...

Aja und das bei der Potenz x¹⁰ davor ist eine Null?

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Das ist ein großes O und deutet an, dass Potenzen von \(x\) mindestens zehnten Grades folgen. Für die Taylorpolynome \(T_n(x)\) brauchst du das aber nicht.

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Verstehe.

Was schreibe ich dann anstatt dem O hin?

Bzw. wie würde deine Funktion mit welcher du kommentiert hast dann aussehen?

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Ich schrieb:$$f(x)=\frac12-\frac1{24}x^2+\frac1{720}x^4-\frac1{40320}x^6+O(x^8).$$Gefragt war aber nach dem 6. Taylorpolynom von \(f\). Dazu lässt du \(O(x^8)\) einfach weg:$$T_6(x)=\frac12-\frac1{24}x^2+\frac1{720}x^4-\frac1{40320}x^6.$$

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Okay, perfekt!

Vielen Dank für die Hilfe.

Schönen Sonntag noch!

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Das wünsche ich dir auch & viel Erfolg!

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Vielen Dank!