Quadratische Gleichungen auflösen und Scheitelform von Parabel bestimmen.

Question

Forme in die Scheitelform um:

$$\begin{array} { l } { y = x ^ { 2 } + 4 x + 5 } \\ { y = x ^ { 2 } - 6 x - 3 } \\ { y = 7 x ^ { 2 } - 21 x + 35 } \\ { y = 3 x ^ { 2 } + 4 x + 7 } \\ { y = \frac { 4 } { 5 } x ^ { 2 } - 3 x + \frac { 1 } { 3 } } \end{array}$$

Löse die quadratische Gleichung:

$$ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0 } \\ { ( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 = 0 } \\ { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 = 0 } \\ { ( x + 1 ) ^ { 2 } + 1 = 0 } \\ { x ^ { 2 } - 3 = 0 } \end{array} $$

Answer 1

Hi,

 

wenn du eine Quadratische Gleichung lösen willst, dann nutze die PQ Formel

 

PQ-Formel:
 

a) x²-2x-3=0

x_1/2=-(-2)/2±√((-2)/2)²-(-3)

x₁= 3

x₂= -1

 

bei der 2.Aufgabre musst du erst mal die Klammer ausmultiplizieren. 1.Binomische Formel

(x+1)²-4=0

x²+2x+1-4

x²+2x-3=0

x_1/2=-2/2±√(2/2)²-(-3)

x₁= 1

x₂= -3

 

Die Restlichen kannst du aber jetzt alleine machen. Falls du nicht weiter kommst, kannst du ja kommentieren :)

 

Scheitelpunktform:

x²+4x+5

(x²+4x+4-4+5)

x+2)²+1

S(-2|1)

 

1) halbiere den Faktor vor dem x und quadriere das Ergebnis, addiere hinter dem x und subtrahiere es direkt dahinter (Quadratische Ergänzung) => 4/2= 2² = 4

2) Fasse die ersten drei Summanden in der Klammer nach der 1 oder nach der 2 Binomsichen Formnel zu einem Quadrat zusammen.

3) Fasse die letzten beiden Summanden in der Klammer zusammen, achte dabei auf die Vorzeichnen.

 

Answer 2

Aufgabe 6. Geht schneller ohne Formeln, wenn du die richtige Rechenweise gleich erkennst:

6a) x^2 -2x - 3 = 0       |Faktorisieren nach Vieta
     (x       )(x     )  =0

  (x-3)(x+1) = 0

x1 = 3, x2 =  -1

6b) (x+1)^2 -4 = 0       |x isolieren

(x+1)^2 = 4           |√

(x+1) = ±√4 

x+1 = ±2

x= -1 ±2,

x1 = 1, x2 = -3

6c) (x-2)^2 -1 = 0        |x isolieren

(x-2)^2 = 1          |√

x-2 = ±1

x = 2 ±1

x1 = 3, x2 = 1

6d) (x+1)^2 + 1 = 0          unmöglich, da links auf jeden Fall nicht weniger als 1 stehen kann.

L = {}          (Lösungsmenge = leere Menge)

6e) x^2 - 3 = 0              |x isolieren

x^2 = 3             |√

x1 = √3, x2 = -√3

Answer 3

Die Scheitelpunktform sieht folgendermaßen aus:

 

f(x) = a (x - x_s )² + y_s  bzw.

f(x) = (x - x_s )² + y_s  wobei x_s und y_s die Werte zum Scheitelpunkt des Graphen von f darstellen.

Im Tafelwerk/Formelsammlung findest du unter dem Stichwort "Quadratische Funktionen" im Stichwortverzeichnis hinten einen Verweis zur Seite mit den Formeln zu quadratischen Funktionen. Diese werden unterschieden in die "Allgemeine Form" y = f(x) = ax² +bx +c , dann steht ein Koeffizient a vor dem x² und in die "Normalform", dann ist der Koeffizient eben 1, also y = f(x) = x² +px + q

Die Aufgaben 3a) und b) sind in Normalform, die c), d) und e) in der Allgemeinen Form.

3 a)

y = x² + 4x + 5 => p =4 und q = 5

Scheitelpunkt S gemäß TW

S (x_s; y_s)  = S ( -p/2 ; -p²/4 +q)

= > x_s = -4/2 = -2 und y_s = - 16/4 + 5 = 1

= > S (-2; 1)

damit ergibt sich nach obiger Scheitelpunktform:

f(x) = (x- (-2))² +1 = (x + 2)² + 1

b) analog

c), d), e) mit den Formeln zur "Allgemeinen Form"

 

6. Quadratische Gleichungen lösen ... siehe Tafelwerk unter dem Stichwort "Quadratische Gleichungen"!

a) Normalform

...

 siehe Emre123 und Lu (Komisch ... hab die Antworten eben erst gesehen ...)