Bestimmen Sie alle Untergruppen, die von genau einem Element erzeugt werden, und geben sie deren Ordnung an.

Question

Aufgabe:

H8.1 A Es wird die Diedergruppe \( \left(D_{5} ; \circ\right) \), d.h. die Gruppe aller Symmetrieabbildungen eines regelmäßigen Fünfecks mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen, betrachtet. Die Eckpunkte des Fünfecks seien mit den Zahlen 1 bis 5 entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet.
(a) Geben Sie alle Elemente der Diedergruppe \( D_{5} \) durch Permutationen der Eckpunkte in Zyklenschreibweise an.
(b) Welche Ordnungen können die Untergruppen von \( D_{5} \) nach dem Satz von Lagrange besitzen? Bestimmen Sie alle Untergruppen, die von genau einem Element erzeugt werden, und geben sie deren Ordnung an.
(c) Geben Sie für eine Untergruppe mit 5 Elementen alle Linksnebenklassen dieser Untergruppe an. Überlegen Sie sich zuvor, wie viele Linksnebenklassen diese Untergruppe hat.

Problem/Ansatz:

Leider war ich nicht dabei, wo über Untergruppen und Linksnebenklassen unterrichtet wurde. Könnt mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Answer 1

Hast du denn die Elemente von \( \left(D_{5} ; \circ\right) \) bestimmt ?

Das sind die 5 Drehungen um ein Vielfaches von 72° und die

5 Spiegelungen an den Mittelsenkrechten der Seiten des 5-ecks.

Und Untergruppen sind einfach Teilmengen von

Gruppenelementen, die selber eine Gruppe bilden, also

insbesondere abgeschlossen sind, das neutrale El enthalten,

und zu jedem das inverse.

Comments

Also ich habe versucht sie raus zubekommen.

\( D_{0} \) = id;

\( D_{1} \) = (13) (24)

\( D_{2} \) = (52) (13)

\( D_{3} \) = (41) (52)

\( D_{4} \) = (35) (41)

\( D_{5} \) = (24) (35)

\( S_{1} \) = (123) (45)

\( S_{2} \) = (125) (34)

\( S_{3} \) = (234) (15)

\( S_{4} \) = (345) (12)

\( S_{5} \) = (154) (23)

Weiß aber nicht ob die richtig sind

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Mit der Zyklenschreibweise bin ich nicht so vertraut.

Aber wenn ich die 72°-Drehung habe, dann geht

doch Ecke 1 auf Ecke 2 und 2 auf 3 und 3 auf 4 und 4 auf 5 und 5 auf 1.

Muss es dann nicht (12345) heißen ?

Und bei der 144°-Drehung (13524) ?

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Also ich habe jetz nochmal veruscht die Permutation zu schreiben und die https://de.wikipedia.org/wiki/Diedergruppe#Permutations-Darstellung benutz zur hilfe.

(12345)

(23451)

(34512)

(45123)

(51234)

symmetrie

(54321)

(43215)

(32154)

(21543)

(15432)

Nehmen wir an das wäre richtig, wie würde ich dann die Unterguppen, Ordnung und Linksnebenklassen bestimmen)