Richtungsableitung von f im Punkt (1,1) berechnen

Question

Hallo,

Aufgabe:

Es sei f : R² → R mit f(x, y) := x sin(y − x) und v = (cos t, sin t) für t ∈ [0, 2π).

(i) Berechnen Sie die Richtungsableitung von f im Punkt (1, 1) in Richtung v.
Problem/Ansatz:

Ich bin etwas überfordert und weiß nicht so genau wie ich an die Aufgabe ran gehen soll. Das mit dem v verwirrt mich und ich weiß nicht genau was ich damit anfangen soll.

Soll ich die partiellen Ableitungen bestimmen und dann für beide 1,1 einsetzen? Aber was mache ich mit dem v...?

Wäre für eine Erklärung dankbar.

Comments

Was sagt denn Euer Lehrmaterial zum Begriff "Richtungsableitung"?

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Ich habe folgendes gefunden:

d_v f(x₀) = ∇f(x₀) * v

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Damit kannst Du doch arbeiten. Du berechnest die partiellen Ableitungen von f, setzt den Punkt x_0=(1,1) ein und bildest das Skalarprodukt des Gradienten mit v....

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Ok also:

dx= -sin(x-y) - x cos (x-y)

dy= x cos(x-y)

Nun setze ich (1,1) ein:

dx (1,1)= 1

dy(1,1) = 1

Soweit so gut? Ich verstehe jetzt nicht genau was du meinst mit dem Skalarprodukt des Gradienten mit v...? Mache ich jetzt sowas wie die Matrix

1

1

*v?

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Hast Du beim Einstzen bei dx nicht ein Minus übersehen?

Was die 2. Frage angeht: Der Richtungsvektor hat 2 Komponenten: v=(v1,v2). Dann ist die Richtungsableitung

dx(1,1)v1 + dy(1,1)v2

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bei dx, stimmt ist -1

Ok also dann ist die Richtungsableitung:

-1 * cos t + 1 * sin t, also -cos t + sin t

richtig?

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Ja das stimmt

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Super, danke dir für die ausführliche Hilfe. Leider kann ich nicht als beste Antwort markieren...