Große Probleme bei der Definition einer Relation und einer Untergruppe

Question

Sei (G, ·) eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Die Relation ∼_U auf G sei definiert durch:

g ∼_U h :⇔ gh⁻¹ ∈ U

Ich verstehe, dass (G, ·)  eine Gruppe ist. Somit muss Assoziativität vorliegen, ein neutrales Element existieren und ein inverses Element für jedes Element aus G existieren. Ach so, und die Menge ist bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen.

Ich verstehe auch, dass eine Untergruppe dann eine Untergruppe ist, wenn ihre Menge eine nichtleere Teilmenge von der Menge der Gruppe, also hier G, ist und selber noch alle Gruppenaxiome erfüllt.

Jetzt aber meine Fragen:

1. Was zur Hölle soll "[...] U ≤ G eine Untergruppe [...]" bedeuten? Würde da stehen U ist eine Teilmenge von G, dann würde ich ja einfach annehmen, dass damit eine Untergruppe (U, ·) existiert. Aber da steht ja U ist kleiner/gleich G.. was ist damit gemeint und was ist nun die Untergruppe?

2. Und dann verstehe ich die komplette Definition der Relation nicht. Zwei beliebige Element ergeben multipliziert ein inverses Element? Zu was denn?

Answer 1

1. Nicht jede Teilmenge ist eine Untergruppe.

Wenn du z.B. bei den ganzen Zahlen mit der Addition

die Menge der geraden Zahlen betrachtest, kannst du mit diesen

irgendwelche Additionen machen und erhältst wieder eine

gerade Zahl (sog. Abgeschlossenheit). Bei den ungeraden

geht das z.B. nicht; deshalb bilden die keine Untergruppe.

Das ≤-Zeichen ist eine Abkürzung für " ist eine Untergruppe von " .

Müsste also eigentlich heißen (U, ·) ≤ (G, ·)

Allerdings wird, wenn klar ist um welche Gruppenoperation es

geht, diese oft weggelassen.

2. Die Def.     g ∼_U h :⇔ gh⁻¹ ∈ U bedeutet in Worten:

Zwei Elemente g und h stehen in der Relation ~_U genau dann,

wenn das Produkt des 1. Elementes mit dem Inversen des zweiten

wieder ein Element von U ist.

Answer 2

Was zur Hölle soll "[...] U ≤ G eine Untergruppe [...]" bedeuten?

"U ≤ G" bedeutet "U ist eine Untergruppe von G"?

Dass da "U ≤ G eine Untergruppe" steht, ist redundant.

Und dann verstehe ich die komplette Definition der Relation nicht.

Die Elemente g und h sind in der Relation ~_U wenn g·h^-1 in der Untergruppe U ist.

Beispiel. Sei (G, ·) = (ℚ\{0}, ·) und U = ℚ₊ seien die positiven rationalen Zahlen.

Dann gilt nicht 3 ~_U -4, weil (-4)^-1 = -¼ ist und 3 · (-¼) = -¾ ∉ U ist.

Allerdings gilt 3 ~_U 4, weil 4^-1 = ¼ ist und 3 · ¼ = ¾ ∈ U ist.

Beachte auch, wie ich zwei mal erklärt habe, wie ich das U gewählt habe: ein mal mittels "U = ℚ₊" und ein zweites mal mittels "positiven rationalen Zahlen" für den Fall dass dir die Notation ℚ₊ für die positiven rationalen Zahlen nicht bekannt ist. Aus dem gleichen Grund steht oben auch, dass "U ≤ G eine Untergruppe" ist.