Beweis für Transitivität bei folgender Relation

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die folgende Relation R ⊂ A x A die Eigenschaft transitiv erfüllt (Beweis/Gegenbeispiel)

A= Natürliche Zahlen = {0,1,2,3,...} und (i,j) ∈ R = (es gibt eine positive ganze Zahl x, die kleiner als i und kleiner als j ist)

Problem/Ansatz:

Es muss ja folgendes gelten: i ~ j, j ~ k, i ~ k

i ~ j: x < i und x < j

j ~ k: x < j und x < k

i ~ k: da komme ich dann aber nicht mehr weiter. Man muss anscheinend auch eine Fallunterscheidung machen, was ich nicht verstehe warum das notwendig ist. Ich weiß nicht wie ich beweisen soll, dass i in Relation zu k steht.

Comments

Antwort gelöscht - der Weg von abakus ist viel einfacher.

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Soweit verstehe ich das, aber ich komme wirklich nicht drauf warum ich dafür ein Fallbeispiel brauchen sollte und für y < j, y < k nicht.

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Sorry, Du hast wohl meine Antwort gelesen. Ist auch nicht falsch, aber unnötig kompliziert. Wie gesagt, Beispiele helfen.

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Kein Problem! Ich muss nur für die Uni deinen Lösungsweg verstehen haha und es so angeben müssen, deshalb habe ich nachgefragt

Answer 1

A= Natürliche Zahlen = {0,1,2,3,...} und (i,j) ∈ R = (es gibt eine positive ganze Zahl x, die kleiner als i und kleiner als j ist)

Das bedeutet doch einfach, dass i und j natürliche Zahlen größer als 1 sind.

Wenn i und j größer als 1 sind und j und k größer als 1 sind, dann sind auch i und k größer als 1.

Answer 2

Ok, wenn Du sagst, dass Du diesen Weg brauchst, dann lade ich die gelöschte Antwort doch wieder rein:

Du hast da einige wichtige Dinge weggelassen.

Es ist zu zeigen: \(i\sim j,\;j \sim k \implies i\sim k\).

Bei Deinen Überlegungen mit \(x\) hast Du das "es gibt ein \(x\) mit..." weggelassen, wodurch Du übersehen hast, dass es bei den beiden Relationen nicht das gleiche \(x\) sein muss.

Zu folgern ist also aus \(x<i, x<j, y<j, y<k\) folgt: Es gibt ein \(z\) mit \(z<i, z<k\). Denke das genau durch und überlege, wie man so ein \(z\) finden kann. Es wird dann auch klar, dass eine Fallunterscheidung hilft.

Generell helfen oft Beispiele.

Ergänzung: Beispiele helfen wirklich (wie oft bei Mathe-Aufgaben). Wenn \(x\) dies ist und \(y\) jenes, was kann man dann als \(z\) nehmen? Probiere konkrete Zahlen.

Comments

Wenn ich das mit Beispielen mache für x und y komme ich einfach zum Entschluss, dass z kleiner gleich x und kleiner gleich y sein muss.

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Ok, und wie kannst Du so ein z dann definieren?

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Ich habe wirklich keinen Plan haha. Kannst du mir da weiterhelfen. Mein gehirn ist komplett blockiert xD

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Hast Du wirklich Beispiele probiert? Welche, konkret? Wir brauchen, wie Du schon richtig bemerkt hast, nur x und y und müssen dann ein z finden.

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Ja. Ich habe x = 1 und y = 5 als Beispiel genommen.

Wenn i in Relation zu j ist dann muss gelten:

1 < i und 1 < j                z.B 1 < 3 uns 1 < 6

Wenn j in Relation zu k ist dann muss gelten:

5 < j und 5 < k               z.B 5 < 6 und 5 < 8

Müsste ich aber nicht auch hier aufpassen? Y muss ja bestimmte Werte haben, sonst stimmt die Aussage nicht. Y müsste kleiner als j sein.

Wenn i in Relation zu k ist müsste denk ich gelten:

z < i und z < k

Wo sollen da aber Fallunterscheidungen kommen?

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Du hast gesagt:

für x und y komme ich einfach zum Entschluss, dass z kleiner gleich x und kleiner gleich y sein muss.

Da kommt also im Beispiel gar kein i,j,k mehr vor. Daher sagte ich ja auch:

Wir brauchen, wie Du schon richtig bemerkt hast, nur x und y und müssen dann ein z finden.

Also: Beispiele mit x,y und dazu z und sonst nichts.

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also soll ich mir Beispiele mit x,y und z anschauen. Ohne i, j, k. Daraus Schlussfolgern wie groß z sein muss und damit kann ich dann die Transitivität beschreiben?

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In meinem vorigen Kommentar steht alles nötige. Die Frage der Transitivität haben wir darauf zurückgeführt.