Stetigkeit in verschieden Bereichen?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei $$f(x)=\begin{pmatrix} 0 & falls |x|< π \\ 1 & falls|x|\geq π \end{pmatrix}$$

a) Ist f: ℝ→ℝ stetig?

a) Ist f: ℚ→ℝ stetig?

a) Ist f: ℤ→ℝ stetig?

Meine Idee:

a) nein, weil f für x=π unstetig ist (weil rechts- und linksseitiger Limes unterschiedlich für x gegen π sind)

b) und c) sind stetig aber mit dem Beweis hab ich Probleme (ist nur eine grafische Überlegung)

Answer 1

Du hast mit Deiner Vermutung recht.

Zum Fall b), also Definitionsbereich \(\mathbb{Q}\): Wir prüfen Stetigkeit im Punkt  \(a \in \mathbb{Q}\) mit \(|a|<\pi\). Dann gibt es ein \(\delta>0\), so dass \((a-\delta,a+\delta) \sub (-\pi,\pi)\). f ist also auf dem offenen Intervall \((a-\delta,a+\delta) \) gleich der Null-Funktion, daher stetig im PUnkt a. Der Fall \(|a|>\pi\) geht analog.

Zum Fall c): Tatsächlich ist jede Funktion \(f:\mathbb{Z} \to \R\) stetig. Denn für \(a \in \Z\) ist \((a-0.5,a+0.5) \cap \Z=\{a\}\). Also nimmt f auf diesem Intervall nur den Wert \(f(a)\) an.