Bestimme, auf welchen Bereichen die Funktion differenzierbar ist.

Question

\( f(x)\left\{\begin{array}{c} x^{2}  \text { für } x<1 \\ 2 x-1 \text { für } 1 \leq x \leq 2 \\ x^{2}+2 x-3 \text { für } x>2 \end{array}\right. \)
Bestimme, auf welchen Bereichen die Funktion differenzierbar ist.

Hallo, ich hatte bisher keine Funktion, die in drei Teile aufgeteilt wird. 2 sind mir bekannt. Wie gehe ich damit um?

Answer 1

1. Überprüfe auf welchen Bereichen die Funktion
   

           \( f_1(x)=\begin{cases}x^{2} &\text {für } x<1 \\ 2 x-1& \text {für } 1 \leq x \leq 2\end{cases}\)
   

   differenzierbar ist.
   

2. Überprüfe auf welchen Bereichen die Funktion

           \( f_2(x)=\begin{cases}2 x-1& \text {für } 1 \leq x \leq 2\\x^2+2x-3&\text{für }x>2\end{cases}\)

   differenzierbar ist.

3. Erkundige dich beim Autor der Aufgabe, ob

           \(x^{2}+2 x-3 \text { für } x<2\)

   in der Definition von \(f\) ein Tippfehler ist und es eigentlich

           \(x^{2}+2 x-3 \text { für } x>2\)

   heißen sollte, oder ob die Funktion \(f\) absichtlich nicht wohldefiniert ist.

   Falls ersteres, dann ist die Funktion \(f\) auf der Vereinigung der oben gefundenen Bereiche differenzierbar.
   

Comments

Stimmt x größer 2

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}f_{1(x)}=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} x<1 \\ 2 x-1 & 1 \leq x \leq 2\end{array}\right. \\ a=1 \quad f(1)=1 \\ \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} \frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} x+1=2 \\ \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} \frac{2 x-1-1}{x-1}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}}\end{array} \)

An der Stelle würde ich jetzt nicht weiter kommen, wie wäre das weitere Vorgehen?

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\(x\mapsto x^2\) ist als ganzrationale Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar.

\(x\mapsto 2x-1\) ist als ganzrationale Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar.

\(f_1\) ist deshalb auf \((-\infty,2]\setminus \{1\}\) differenzierbar.

\(f_1\) ist auch bei \(1\) differenzierbar, wenn \(x\mapsto x^2\) und \(x\mapsto 2x-1\) dort den gleichen Funktionswert und die gleiche Ableitung haben.

Answer 2

Ich vermute mal, dass ein Druckfehler für den dritten Abschnitt der Funktion vorliegt. Angenommen, es würde x>2 heißen, wäre die Funktion nur für x=2 nicht eindeutig differenzierbar.

Answer 3

f1 = x^2

f2 = 2x-1

f3 = x^2+2x-3

f1(1)= f2(1)

1= 1, passt, stetig fortsetzbar

f1'(1)= f2'(1)

2= 2 , passt

-> differenzierbar bei x= 1

f2(2) = f3(2)

3= 5 passt nicht, nicht stetig

f2'(2) = f3'(2)

2= 6 passt nicht

-> nicht differenzierbar bei x= 2

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!132:Abschnittsweise_-_definierte_Funktionen

PS:

x<2 macht keinen Sinn.

Es muss sicher x> 2 heißen.