formale Ableitung des Polynom und berechnung der Darstellungsmatrix

Question

Aufgabe: Die (formale) Ableitung eines Polynoms p=∑ⁿ_k=0 a_kX^k wird gegeben durch ,

p' := \( \sum\limits_{k=0}^{\{n}{} \) ka_kX^k-1

mit der Vereinbarung 0*X^-1 :=0. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizzen der Linearen Abbildungen ε: Pol³ _ℝ  → Pol³ _ℝ  und δ : Pol³ _ℝ → Pol² _ℝ , die durch ε(p) := p(2X -1) , δ(p) := p'

definiert sind bezüglich der Basen (1,X,X² _, X³ ) von Pol³_R bzw (1,X,X²) von Pol²_R . Berechnen Sie außerdem eine Darstellungsmatrix der Komposition δ°ε.

…

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier nicht weiter.. Bedanke mich jetzt schon für die aufwändige Antwort :((

Answer 1

ε(p) := p(2X -1)

==>  Bilder der Basisvektoren sind

ε(1) = 1 

ε(x) = 2x-1

ε(x^2) =(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1

ε(x^3) =(2x-1)^3 = 8x^3 -12x^2 + 6x - 1 

Also ist die Matrix (Koeffizienten sind die Spalten)

\(  \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ -1&2&0&0\\ 1&-4&4&0\\ -1&6&-12&8 \end{pmatrix} \)

Comments

Noch mal nachrechnen ε(x^n) = X^n (2X-1) = 2 X^n+1 - X^n

.....

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p(2X -1)   2x-1 in p eingesetzt

oder mit p multipliziert ?