Bestimmen der höhe eines Rotationskörpers

Question

Hallöchen alle zusammen,

Durch Rotation des Schaubildes der Funktion \( f \) um die \( y \)-Achse, mit
\( f(x)=\frac{9 \cdot x^{2}}{8}, \)
für \( x \)-Werte zwischen 0 und \( b \), entsteht ein
Rotationskörper. Bestimmen muss ich die die Höhe \( h=f(b) \)
so, dass der Körper das Volumen \( V=4 \cdot \pi \) besitzt.

Kann mir wer hier eine Lösung bitte geben

Answer 1

Es wir um die y-Achse rotiert, also ist das Volumen in Abhängigkeit von der Höhe h:

$$V(h) =\pi\int_0^hr^2(y)\;dy$$

Nun ist \(r(y) =x = \sqrt{\frac 89 y}\). Einsetzen und ausrechnen:

$$V(h) =\frac 89 \pi\int_0^hy\;dy = \frac 49 \pi h^2 \stackrel{!}{=}4\pi \Rightarrow h = 3$$

Beachte: Man braucht das b gar nicht :-D .

Comments

Vielen Lieben Dank!