Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich, Nullstellen...

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufg. 1-2 gebrochen-rationale Funktionen
Gegeben sind die beiden Funktionen
1) $f_{1}(x)=\frac{2 x^{3}-6 x+4}{x^{3}+4 x^{2}+5 x+2}$,
2) $f_{2}(x)=\frac{2 x^{3}-6 x+4}{x^{2}+3 x+2}$.
Bestimmen Sie jeweils
- den Definitionsbereich
- alle Nullstellen
- alle Polstellen mit / ohne Vorzeichenwechsel
- alle hebbaren Unstetigkeiten
- die Grenzwerte für $x$ gegen unendlich und gegen minus unendlich
- die Asymptoten für x gegen unendlich.
Skizzieren Sie anschließend die Funktionen, so dass alle berechneten Eigenschaften erkennbar sind.
Verwenden Sie die folgenden Linearfaktorzerlegungen, diese brauchen Sie nicht zu zeigen:
$\begin{array}{l} 2 x^{3}-6 x+4=2(x+2)(x-1)^{2} \\ x^{3}+4 x^{2}+5 x+2=(x+2)(x+1)^{2} \\ x^{2}+3 x+2=(x+2)(x+1) \end{array}$

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

a) D = R ohne die Nullstellen des Nenners

(x²+3x+2)= (x+2)(x+1)

b) Nullstellen: Nullstellen des Zählers

c) Polstellen: siehe a)

d) hebbar = Nullstelle des Faktors, der sich wegkürzen lässt

e) Kürze mit der höchsten Potenz: jeweils mit x³

f)

Comments

b) Nullstellen: Nullstellen des Zählers

Warum das?

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Bruch wird nur Null, wenn der Zähler Null wird.

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Verstehe. Wie viel Nullstellen hat denn die Funktion $h(x)=\frac xx$ und wie viel $g(x)=x$ ?

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Um den geht es hier nicht. Ich beziehe mich auf die Aufgabe.

x/x ist zudem 1.

g(x) ist kein Bruch.

Was sollen diese seltsamen Spielchen?

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Was du behauptet hast ist schlicht falsch.

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Dann bitte ich um Erklärung.

Für mich sind deine Bespiele absurd und deplatziert.

Geh von dem aus, was von einem Schüler verlangt wird.

Für mich ist das verwirrender Unfug, der hier nicht hergehört.

Ich weiß nicht, worauf du hinauswillst.

Was du behauptet hast ist schlicht falsch.

Auch das ist eine Behauptung ohne Begründung.

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Bei dir sind sämtliche Begründungen komplett sinnlos.

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Ich sehe keine einzige außer jemanden, der ein unnötiges Drama inszeniert

und jetzt kneift.

Was soll das Theater bitteschön?

Womit willst du dich profilieren? Welcher Rolle soll das hier spielen?

Answer 2

Aloha :)

Das Rezept hat der Koch ja direkt mitgelidert. Schreibe die Funktionen mit Hilfe der angegebenen Linearfaktorzerlegungen auf und kürze gleiche heraus$$f_1(x)=\frac{2x^3-6x+4}{x^3+4x^2+5x+2}=\frac{2\pink{(x+2)}(x-1)^2}{\pink{(x+2)}(x+1)^2}\stackrel{(x\ne-2)}{=}\green{2\,\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}}\quad\text{für }x\ne-2$$$$f_2(x)=\frac{2x^3-6x+4}{x^2+3x+2}=\frac{2\pink{(x+2)}(x-1)^2}{\pink{(x+2)}(x+1)}\stackrel{(x\ne-2)}{=}\green{2\,\frac{(x-1)^2}{x+1}}\quad\text{für }x\ne-2$$In beiden Funktionen konnten wir $\pink{(x+2)}$ herauskürzen und haben jeweils die grüne vereinfachte Funktion erhalten. Diese vereinfachte Funktion gilt aber nur für $x\ne-2$, denn bei den ursprünglichen Funktionen wäre der Nenner für $x=-2$ zu Null geworden, d.h. die ursprünglichen Funktionen sind bei $x=-2$ nicht definiert.

zu 1) Definitionsbereich: Merke: $\red{(\frac{\text{egal}}{=0})}$

Definitionslücken liegen vor, wenn der Nenner $=0$ ist.

Bei beiden Funktion wird der Nenner für $x=-2$ und $x=-1$ zu Null.

Diese $x$-Werte dürfen wir nicht einsetzen:$$\mathbb D_1=\mathbb R\setminus\{-1;-2\}\quad;\quad \mathbb D_2=\mathbb R\setminus\{-1;-2\}$$

zu 2) Alle Nullstellen: Merke: $\red{(\frac{=0}{\ne0})}$

Nullstellen liegen vor, wenn der Zähler $=0$ ist und der Nenner $\ne0$ ist.

Für $x=-2$ werden zwar die Zähler der beiden Funktionen zu Null, aber leider auch die Nenner. Daher haben beide Funktionen nur eine Nullstelle bei $x=1$:$$\mathbb N_1=\{1\}\quad;\quad \mathbb N_2=\{1\}$$

zu 3) Alle Polstellen: Merke: $\red{\frac{\ne0}{=0}}$

Polstellen liegen vor, wenn der Zähler $\ne0$ ist und der Nenner $=0$ ist.

Daher haben beide Funktionen bei $x=-1$ eine Polstelle.

Bei $f_1(x)$ steht im Nenner ein Quadrat um den Linearfaktor $(x+1)^{\pink2}$. Daher behält dieser Faktor sein Vorzeichen links und rechts von $x=-1$ bei. Die Polstelle hat keinen Vorzeichenwechsel.$$f_1(x)\colon\text{Polstelle ohne VZW bei }x=-1$$

Bei $f_2(x)$ steht im Nenner nur der Linearfaktor $(x+1)$. Für Werte $x<-1$ ist dieser Faktor negativ und für Werte $x>-1$ ist er positiv. Daher wechselt der Faktor sein Vorzeichen. Wir haben hier also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.$$f_2(x)\colon\text{Polstelle mit VZW bei }x=-1$$

zu 4) Alle behebbaren Lücken: Merke $\red{(\frac{=0}{=0})}$

Behebbare Lücken (Unstetigkeiten) liegen vor, wenn Zähler und Nenner beide $=0$ sind.

Das ist bei beiden Funktionen offensichtlich für $x=-2$ der Fall. Du kannst mit Hilfe der grünen gekürzten Funktionen sogar den Punkt angeben, der zum Beheben der Lücke notwendig ist:$$P_1(-2|18)\text{ für }f_1(x)\quad;\quad P_2(-2|-18)\text{ für }f_2(x)$$

zu 5) Grenzwerte für $x\to\pm\infty$

Suche im Nenner das $x$ mit der höchsten Potenz und kürze den Bruch durch diese $x$-Potenz. Bei $f_1(x)$ ist $x^3$ die höchste Potenz im Nenner und bei $f_2(x)$ ist es \(x^2):$$f_1(x)=\frac{2x^3-6x+4}{x^3+4x^2+5x+2}\stackrel{(x\ne0)}{=}\frac{2-\frac{6}{x^2}+\frac{4}{x^3}}{1+\frac4x+\frac{5}{x^2}+\frac{2}{x^3}}\stackrel{(x\to\pm\infty)}{\to}\frac{2-0+0}{1+0+0+0}=2$$

$$f_2(x)=\frac{2x^3-6x+4}{x^2+3x+2}\stackrel{(x\ne0)}{=}\frac{2x-\frac6x+\frac{4}{x^2}}{1+\frac3x+\frac{5}{x^2}+\frac{2}{x^2}}\to\left\{\begin{array}{ll}+\infty &\text{für }x\to+\infty\\-\infty &\text{für }x\to-\infty\end{array}\right.$$

zu 6) Asymptoten für $x\to\pm\infty$

Hier musst du die Funktionsterme so umformen, dass du ein Polynom (ohne Nenner) erhältst und Brüche, in denen der Grad des Zählerpoynoms kleiner(!) als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wenn du dann diese Brüche weglässt, bleibt die Asymtote übrig.

Die Rechnung kannst du mittels einer Polynomdivision durchführen oder du formst die Terme direkt um. Ich wähle die zweite Mehtode, da du die Polynomdivsion bestimmt schon kannst:$$f_1(x)=\green{2\,\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}}=2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2=2\left(\frac{(x+1)-2}{x+1}\right)^2=2\left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}\right)^2$$$$\phantom{f_1(x)}=2\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^2=2\left(1-\frac{4}{x+1}+\frac{4}{(x+1)^2}\right)=\pink2-\frac{8}{x+1}+\frac{8}{(x+1)^2}$$

$$f_2(x)=\green{2\,\frac{(x-1)^2}{x+1}}=2\,\frac{((x+1)-2)^2}{x+1}=2\,\frac{(x+1)^2-4(x+1)+4}{x+1}$$$$\phantom{f_2(x)}=2\left((x+1)-4+\frac{4}{x+1}\right)=\pink{2x-6}+\frac{8}{x-1}$$

Damit haben wir die Asymptoten gefunden:$$a_1(x)=2\quad;\quad a_2(x)=2x-6$$

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f₁(x) = (2x³-6x+4)/(x³+4x²+5x+2)Zoom: x(-15…15) y(0…20)f₂(x) = 2x = -1P(-2|18)

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f₁(x) = (2x³-6x+4)/(x²+3x+2)Zoom: x(-15…15) y(-30…20)f₂(x) = 2x-6x = -1P(-2|-18)